Номер 1059, страница 164, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Правила Кирхгофа - номер 1059, страница 164.

Условие.

1059. H Определите силы токов во всех участках цепи (рис. 231), если ЭДС $E_1 = E_2 = 60 \text{ В}$, $E_3 = 100 \text{ В}$, сопротивления резисторов $R_1 = 10 \text{ Ом}$, $R_2 = R_3 = 20 \text{ Ом}$.

Рис. 231

Решение.

Дано:

$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_2 = 60 \text{ В}$

$\mathcal{E}_3 = 100 \text{ В}$

$R_1 = 10 \text{ Ом}$

$R_2 = R_3 = 20 \text{ Ом}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$I_1, I_2, I_3$ - силы токов во всех участках цепи.

Решение:

На схеме изображены три параллельные ветви, каждая из которых содержит источник ЭДС и резистор. Для нахождения токов в ветвях воспользуемся методом узловых потенциалов. Обозначим верхний узел как A, а нижний узел как B.

Примем потенциал узла B равным нулю: $\phi_B = 0$. Тогда потенциал узла A будет равен напряжению $\text{U}$ между узлами: $\phi_A = U$.

Направим токи $I_1, I_2, I_3$ в каждой из ветвей вверх, то есть в направлении действия ЭДС (отрицательный полюс к положительному).

Согласно закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, ток в каждой ветви можно выразить через напряжение $\text{U}$:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}_1 - (\phi_A - \phi_B)}{R_1} = \frac{\mathcal{E}_1 - U}{R_1}$

$I_2 = \frac{\mathcal{E}_2 - (\phi_A - \phi_B)}{R_2} = \frac{\mathcal{E}_2 - U}{R_2}$

$I_3 = \frac{\mathcal{E}_3 - (\phi_A - \phi_B)}{R_3} = \frac{\mathcal{E}_3 - U}{R_3}$

Согласно первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Для узла A:

$I_1 + I_2 + I_3 = 0$

Подставим выражения для токов в это уравнение:

$\frac{\mathcal{E}_1 - U}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2 - U}{R_2} + \frac{\mathcal{E}_3 - U}{R_3} = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$\frac{\mathcal{E}_1}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2}{R_2} + \frac{\mathcal{E}_3}{R_3} - U \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right) = 0$

Отсюда выразим напряжение $\text{U}$:

$U = \frac{\frac{\mathcal{E}_1}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2}{R_2} + \frac{\mathcal{E}_3}{R_3}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{\mathcal{E}_1}{R_1} = \frac{60 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 6 \text{ А}$

$\frac{\mathcal{E}_2}{R_2} = \frac{60 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 3 \text{ А}$

$\frac{\mathcal{E}_3}{R_3} = \frac{100 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 5 \text{ А}$

$\frac{1}{R_1} = \frac{1}{10 \text{ Ом}} = 0.1 \text{ Ом}^{-1}$

$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{20 \text{ Ом}} = 0.05 \text{ Ом}^{-1}$

$\frac{1}{R_3} = \frac{1}{20 \text{ Ом}} = 0.05 \text{ Ом}^{-1}$

Теперь вычислим $\text{U}$:

$U = \frac{6 + 3 + 5}{0.1 + 0.05 + 0.05} = \frac{14 \text{ А}}{0.2 \text{ Ом}^{-1}} = 70 \text{ В}$

Зная напряжение $\text{U}$, найдем силы токов в каждой ветви:

$I_1 = \frac{60 \text{ В} - 70 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = \frac{-10 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = -1 \text{ А}$

$I_2 = \frac{60 \text{ В} - 70 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = \frac{-10 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = -0.5 \text{ А}$

$I_3 = \frac{100 \text{ В} - 70 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = \frac{30 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 1.5 \text{ А}$

Знак "минус" для токов $I_1$ и $I_2$ означает, что их реальное направление противоположно выбранному нами (вверх). То есть, ток в первой и второй ветвях течет вниз.

Ток $I_3$ положителен, значит его направление совпадает с выбранным (вверх).

Таким образом:

Ток в ветви с $\mathcal{E}_1$ и $R_1$ равен $1 \text{ А}$ и направлен против ЭДС $\mathcal{E}_1$.

Ток в ветви с $\mathcal{E}_2$ и $R_2$ равен $0.5 \text{ А}$ и направлен против ЭДС $\mathcal{E}_2$.

Ток в ветви с $\mathcal{E}_3$ и $R_3$ равен $1.5 \text{ А}$ и направлен по направлению ЭДС $\mathcal{E}_3$.

Проверка по первому правилу Кирхгофа: $I_1 + I_2 + I_3 = -1 \text{ А} - 0.5 \text{ А} + 1.5 \text{ А} = 0$. Баланс токов в узле соблюдается.

Ответ: Сила тока в ветви с резистором $R_1$ равна $I_1 = 1 \text{ А}$, направление тока противоположно направлению ЭДС $\mathcal{E}_1$. Сила тока в ветви с резистором $R_2$ равна $I_2 = 0.5 \text{ А}$, направление тока противоположно направлению ЭДС $\mathcal{E}_2$. Сила тока в ветви с резистором $R_3$ равна $I_3 = 1.5 \text{ А}$, направление тока совпадает с направлением ЭДС $\mathcal{E}_3$.