Номер 1053, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Тепловое расширение жидких и твёрдых тел - номер 1053, страница 160.

Условие.

1053. [923] На сколько изменится площадь поверхности медного шарика диаметром 10 см при нагревании его на 800 °C? Коэффициент линейного расширения меди $1,7 \cdot 10^{-5} \text{ K}^{-1}$.

Решение.

Дано:

Начальный диаметр медного шарика, $d_0 = 10 \text{ см}$

Изменение температуры, $\Delta T = 800 \text{ °C}$

Коэффициент линейного расширения меди, $\alpha = 1,7 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$d_0 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

$\Delta T = 800 \text{ °C} = 800 \text{ К}$ (так как изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению в Кельвинах)

Найти:

Изменение площади поверхности шарика, $\Delta S$

Решение:

Площадь поверхности шара (сферы) вычисляется по формуле:

$S = \pi d^2$

Начальная площадь поверхности шарика равна:

$S_0 = \pi d_0^2$

При нагревании тела его размеры увеличиваются. Изменение площади поверхности при тепловом расширении описывается формулой:

$\Delta S = S_0 \beta \Delta T$

где $\beta$ — коэффициент поверхностного (площадного) расширения. Для изотропных материалов, каким является медь, он связан с коэффициентом линейного расширения $\alpha$ соотношением:

$\beta \approx 2\alpha$

Подставим выражение для $\beta$ и $S_0$ в формулу для изменения площади:

$\Delta S = (\pi d_0^2) \cdot (2\alpha) \cdot \Delta T = 2\pi\alpha d_0^2 \Delta T$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Удобнее вести расчет в сантиметрах, так как начальный диаметр дан в сантиметрах, и ответ, скорее всего, будет удобнее выразить в см².

$d_0 = 10 \text{ см}$

$\Delta T = 800 \text{ К}$

$\alpha = 1,7 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

Начальная площадь поверхности:

$S_0 = \pi \cdot (10 \text{ см})^2 = 100\pi \text{ см}^2$

Коэффициент поверхностного расширения:

$\beta = 2\alpha = 2 \cdot 1,7 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1} = 3,4 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

Изменение площади поверхности:

$\Delta S = S_0 \beta \Delta T = 100\pi \text{ см}^2 \cdot 3,4 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1} \cdot 800 \text{ К}$

$\Delta S = 100\pi \cdot 3,4 \cdot 10^{-5} \cdot 800 = (100 \cdot 800) \cdot 3,4 \cdot 10^{-5} \cdot \pi = 80000 \cdot 3,4 \cdot 10^{-5} \cdot \pi \text{ см}^2$

$\Delta S = 8 \cdot 10^4 \cdot 3,4 \cdot 10^{-5} \cdot \pi = 8 \cdot 3,4 \cdot 10^{-1} \cdot \pi = 27,2 \cdot 10^{-1} \cdot \pi = 2,72\pi \text{ см}^2$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$\Delta S \approx 2,72 \cdot 3,14 \approx 8,5408 \text{ см}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных ($\alpha = 1,7 \cdot 10^{-5}$):

$\Delta S \approx 8,5 \text{ см}^2$

Ответ: площадь поверхности медного шарика изменится (увеличится) на $8,5 \text{ см}^2$.