Номер 1049, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Тепловое расширение жидких и твёрдых тел - номер 1049, страница 160.

Условие.

1049. [919] На сколько градусов нужно нагреть тонкое стальное кольцо, чтобы через него проходил шарик радиусом 4 см? Радиус кольца до нагревания 3,98 см. Коэффициент линейного расширения стали $1,1 \cdot 10^{-5}$ К$^{-1}$.

Решение.

Дано:

Радиус шарика, $R = 4$ см
Начальный радиус стального кольца, $R_0 = 3,98$ см
Коэффициент линейного расширения стали, $\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5}$ К$^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0,04$ м
$R_0 = 0,0398$ м
$\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5}$ К$^{-1}$

Найти:

Изменение температуры кольца $\Delta T$.

Решение:

Для того чтобы шарик смог пройти через кольцо, внутренний радиус кольца после нагревания $\text{R}$ должен стать равным (или чуть больше) радиусу шарика. Будем считать, что минимально необходимое нагревание увеличит радиус кольца точно до радиуса шарика.

Изменение линейных размеров тела при нагревании описывается формулой линейного теплового расширения. Эту формулу можно применить и для радиуса кольца:

$R = R_0 (1 + \alpha \Delta T)$

где $\text{R}$ — конечный радиус, $R_0$ — начальный радиус, $\alpha$ — коэффициент линейного расширения, а $\Delta T$ — искомое изменение температуры.

Выразим из этой формулы $\Delta T$:

$R = R_0 + R_0 \alpha \Delta T$

$R - R_0 = R_0 \alpha \Delta T$

$\Delta T = \frac{R - R_0}{R_0 \alpha}$

Теперь подставим данные из условия в полученную формулу. При вычислении можно использовать значения радиусов в сантиметрах, так как в числителе и знаменателе единицы измерения (см) сократятся.

$\Delta T = \frac{4 \text{ см} - 3,98 \text{ см}}{3,98 \text{ см} \cdot 1,1 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}} = \frac{0,02}{4,378 \cdot 10^{-5}} \text{ К}$

$\Delta T \approx 456,83 \text{ К}$

Изменение температуры в градусах Кельвина равно изменению температуры в градусах Цельсия, так как цена одного деления у обеих шкал одинакова. Округлим полученное значение до целого числа.

$\Delta T \approx 457 \text{ °C}$

Ответ: тонкое стальное кольцо нужно нагреть на 457 °C.