Номер 1045, страница 155, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Свойства жидкости - номер 1045, страница 155.

Условие.

1045. [915] В вертикальной капиллярной трубке из смачиваемого водой материала находится вода. Определите высоту столбика воды в капилляре, если сосуд с жидкостью поднимается с ускорением $4.9 \, \text{м/с}^2$. Радиус капилляра $1 \, \text{мм}$, коэффициент поверхностного натяжения воды $0.073 \, \text{Н/м}$.

Решение.

Дано:

$a = 4.9 \text{ м/с}^2$

$r = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\sigma = 0.073 \text{ Н/м}$

$\rh°= 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{h}$ — высота столбика воды.

Решение:

Подъем воды в капилляре происходит за счет силы поверхностного натяжения $F_\sigma$, которая действует вверх по периметру смачивания. В состоянии равновесия эта сила уравновешивается силой тяжести столбика воды $F_g$ и силой инерции $F_и$, возникающей из-за ускоренного движения сосуда вверх.

Сила поверхностного натяжения определяется по формуле:

$F_\sigma = 2\pi r \sigma \cos\theta$

Поскольку трубка сделана из смачиваемого водой материала, краевой угол $\theta$ можно считать равным нулю, и тогда $\cos\theta = 1$. Таким образом:

$F_\sigma = 2\pi r \sigma$

Сила тяжести, действующая на столбик воды высотой $\text{h}$, равна:

$F_g = mg = \rh°V g = \rh°(\pi r^2 h) g$

Так как система движется с ускорением $\text{a}$ вверх, на столбик воды в неинерциальной системе отсчета, связанной с капилляром, действует сила инерции, направленная вниз:

$F_и = ma = \rh°(\pi r^2 h) a$

Условие равновесия столбика воды в капилляре:

$F_\sigma = F_g + F_и$

$2\pi r \sigma = \rh°\pi r^2 h g + \rh°\pi r^2 h a$

$2\pi r \sigma = \rh°\pi r^2 h (g + a)$

Выразим высоту столбика воды $\text{h}$:

$h = \frac{2\pi r \sigma}{\rh°\pi r^2 (g + a)} = \frac{2\sigma}{\rh°r (g + a)}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{2 \cdot 0.073 \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot (9.8 \text{ м/с}^2 + 4.9 \text{ м/с}^2)}$

$h = \frac{0.146}{1 \cdot 14.7} \approx 0.00993 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$h \approx 0.00993 \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}} = 9.93 \text{ мм}$

Ответ: высота столбика воды в капилляре составит примерно $9.93 \text{ мм}$.