Номер 1050, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Тепловое расширение жидких и твёрдых тел - номер 1050, страница 160.

Условие.

1050. [920] На сколько градусов необходимо нагреть алюминиевую проволоку с площадью поперечного сечения $6 \text{ мм}^2$, чтобы у неё была та же длина, что и под действием растягивающей силы $508 \text{ Н}$? Коэффициент линейного расширения алюминия $2,4 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$, модуль Юнга $7 \cdot 10^{10} \text{ Па}$.

Решение.

Дано:

$S = 6 \text{ мм}^2 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$F = 508 \text{ Н}$

$\alpha = 2,4 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

$E = 7 \cdot 10^{10} \text{ Па}$

Найти:

$\Delta T$ – изменение температуры

Решение:

Удлинение проволоки происходит по двум причинам: из-за нагревания (тепловое расширение) и из-за действия растягивающей силы (упругая деформация). По условию задачи, эти удлинения должны быть одинаковыми.

1. Удлинение проволоки при нагревании определяется формулой:

$\Delta L_T = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T$

где $L_0$ – начальная длина проволоки, $\alpha$ – коэффициент линейного расширения, $\Delta T$ – изменение температуры.

2. Удлинение проволоки под действием растягивающей силы $\text{F}$ описывается законом Гука, выраженным через модуль Юнга $\text{E}$:

$\sigma = E \cdot \varepsilon$, где $\sigma = \frac{F}{S}$ – механическое напряжение, а $\varepsilon = \frac{\Delta L_F}{L_0}$ – относительное удлинение.

Отсюда удлинение $\Delta L_F$ равно:

$\frac{F}{S} = E \cdot \frac{\Delta L_F}{L_0} \implies \Delta L_F = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

3. Приравниваем удлинения $\Delta L_T$ и $\Delta L_F$, так как по условию они равны:

$\Delta L_T = \Delta L_F$

$\alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

Начальная длина $L_0$ сокращается:

$\alpha \cdot \Delta T = \frac{F}{E \cdot S}$

4. Выразим искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{F}{E \cdot S \cdot \alpha}$

5. Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$\Delta T = \frac{508}{7 \cdot 10^{10} \text{ Па} \cdot 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 2,4 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}} = \frac{508}{(7 \cdot 6 \cdot 2,4) \cdot 10^{10-6-5}} = \frac{508}{100,8 \cdot 10^{-1}} = \frac{508}{10,08} \approx 50,4 \text{ К}$

Изменение температуры в Кельвинах равно изменению температуры в градусах Цельсия ($\Delta T(K) = \Delta t(°C)$).

Ответ: проволоку необходимо нагреть на 50,4 °C.