Номер 1057, страница 164, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Правила Кирхгофа - номер 1057, страница 164.

Условие.

1057. H Сила тока через резистор $R_1$ сопротивлением $10 \text{ Ом}$ равна $0,01 \text{ А}$ (рис. 229). Определите ЭДС источников, если амперметр $A_2$ показывает значение силы тока, равное нулю. Сопротивлениями источников и амперметров можно пренебречь. Сопротивления резисторов $R_1$ и $R_2$ равны.

Рис. 229

Решение.

Дано:

$I_1 = 0,01 \text{ А}$

$R_1 = 10 \text{ Ом}$

$I_{A2} = 0 \text{ А}$

$R_1 = R_2$

Внутренними сопротивлениями источников и сопротивлениями амперметров пренебречь.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$E_1, E_2$

Решение:

Проанализируем электрическую схему, представленную на рисунке. Схема состоит из трёх параллельных ветвей, подключенных к трём горизонтальным шинам (узлам). Обозначим потенциалы этих узлов как $V_t$ (верхний), $V_m$ (средний) и $V_b$ (нижний). Для удобства примем потенциал нижнего узла равным нулю: $V_b = 0$.

Согласно схеме:

• Резистор $R_1$ подключен между узлами $V_t$ и $V_b$.
• Резистор $R_2$ и ветвь с источником $E_1$ и амперметром $A_1$ подключены параллельно друг другу между узлами $V_t$ и $V_m$.
• Ветвь с источником $E_2$ и амперметром $A_2$ подключена между узлами $V_m$ и $V_b$.

Важное примечание: В некоторых изданиях задачника в данной задаче встречается опечатка в схеме. Приведенный ниже анализ предполагает, что схема на изображении верна. Однако, такая схема содержит внутреннее противоречие, приводящее к результату $I_1=0$, что не соответствует условию. Если предположить, что в схеме опечатка и резистор $R_2$ должен быть включен параллельно источнику $E_2$ (между узлами $V_m$ и $V_b$), то задача имеет корректное решение. Ввиду того, что задачи из учебников обычно корректны, высока вероятность опечатки в схеме. Тем не менее, ниже приводится попытка решения для схемы, как она изображена.

Рассмотрим контур, состоящий из ветвей с $R_1$, $E_1$ и $E_2$. Применим второе правило Кирхгофа (закон напряжений) для внешнего контура, обходя его по часовой стрелке, начиная от точки с потенциалом $V_m$: $V_m \t°V_t \t°V_b \t°V_m$.

Изменение потенциала на участках:

• На участке $V_m \t°V_t$ (через источник $E_1$): потенциал увеличивается на $E_1$. Изменение равно $+E_1$.
• На участке $V_t \t°V_b$ (через резистор $R_1$): течет ток $I_1=0,01$ А. Потенциал уменьшается. Изменение равно $-I_1 R_1$.
• На участке $V_b \t°V_m$ (через источник $E_2$): потенциал увеличивается на $E_2$. Изменение равно $+E_2$.

Сумма изменений потенциала в замкнутом контуре равна нулю:

$E_1 - I_1 R_1 + E_2 = 0$

Этот результат некорректен, так как он не учитывает падение напряжения на $R_2$. Правильнее использовать метод узловых потенциалов, который покажет противоречие.

1. Найдем разность потенциалов между верхним и нижним узлами по закону Ома для участка цепи с резистором $R_1$:

$V_t - V_b = I_1 R_1 = 0,01 \text{ А} \cdot 10 \text{ Ом} = 0,1 \text{ В}$.

Поскольку $V_b=0$, то $V_t = 0,1 \text{ В}$.

2. Рассмотрим ветвь с источником $E_2$ и амперметром $A_2$. Ток в этой ветви равен нулю ($I_{A2}=0$). Для участка цепи с ЭДС, ток определяется формулой $I = (U + E) / R_{вн}$. При $I=0$ и пренебрежимо малом внутреннем сопротивлении ($R_{вн}=0$), разность потенциалов на концах участка равна ЭДС источника. Положительный полюс $E_2$ подключен к узлу $V_m$.

$V_m - V_b = E_2$.

Так как $V_b=0$, то $V_m = E_2$.

3. Ветви с источником $E_1$ и резистором $R_2$ соединены параллельно между узлами $V_t$ и $V_m$. Следовательно, напряжения на них равны.

Для идеального источника $E_1$ (с нулевым внутренним сопротивлением), разность потенциалов на его клеммах равна его ЭДС:

$V_t - V_m = E_1$.

4. Подставим найденные значения потенциалов в это уравнение:

$0,1 \text{ В} - E_2 = E_1 \implies E_1 + E_2 = 0,1 \text{ В}$.

5. Теперь применим первое правило Кирхгофа (закон токов). Обозначим $I_{A1}$ ток через источник $E_1$ (направлен от $V_t$ к $V_m$), $I_2$ ток через $R_2$ (направлен от $V_t$ к $V_m$).

Для узла $V_m$ (средняя шина): сумма втекающих токов равна сумме вытекающих.

Втекающие токи: $I_{A1}$ и $I_2$.

Вытекающий ток: $I_{A2}$.

Уравнение для узла $V_m$: $I_{A1} + I_2 = I_{A2}$.

По условию $I_{A2} = 0$, следовательно, $I_{A1} + I_2 = 0$, или $I_{A1} = -I_2$. Это означает, что токи в параллельных ветвях между $V_t$ и $V_m$ равны по модулю и противоположны по направлению.

6. Для узла $V_t$ (верхняя шина): ток, выходящий из положительного полюса источника $E_1$, должен разделиться на токи $I_1$ и $I_2$. Однако, ток через сам источник $E_1$ - это $I_{A1}$. Это приводит к противоречивой системе уравнений ($I_{A1} = I_1 + I_2$ и $I_{A1}=-I_2$), из которой следует, что $I_1=0$, что противоречит условию задачи.

Данная ситуация указывает на некорректность условия задачи или схемы в представленном издании. Решим задачу, предположив, что в схеме имеется опечатка, и резистор $R_2$ должен быть соединен параллельно источнику $E_2$ (между узлами $V_m$ и $V_b$).

Решение для исправленной схемы:

1. Потенциалы узлов: $V_t$, $V_m$, $V_b=0$.

2. Напряжение на $R_1$: $V_t - V_b = I_1 R_1 \implies V_t = 0,1 \text{ В}$.

3. В узле $V_t$ соединяются только ветвь с $R_1$ и ветвь с $E_1$. По первому правилу Кирхгофа, ток через эти ветви одинаков: $I_{A1} = I_1 = 0,01 \text{ А}$.

4. В узле $V_m$ ток $I_{A1}$ разветвляется на ток $I_2$ (через $R_2$) и $I_{A2}$ (через $E_2$):

$I_{A1} = I_2 + I_{A2}$.

Так как $I_{A2}=0$, то $I_2 = I_{A1} = 0,01 \text{ А}$.

5. Теперь, зная ток $I_2$ через резистор $R_2$, найдем потенциал $V_m$:

$V_m - V_b = I_2 R_2$.

Используя условие $R_2 = R_1 = 10 \text{ Ом}$:

$V_m - 0 = 0,01 \text{ А} \cdot 10 \text{ Ом} \implies V_m = 0,1 \text{ В}$.

6. Находим ЭДС источников, зная потенциалы узлов:

Для $E_1$, подключенного между $V_t$ и $V_m$:

$E_1 = V_t - V_m = 0,1 \text{ В} - 0,1 \text{ В} = 0 \text{ В}$.

Для $E_2$, подключенного между $V_m$ и $V_b$ (при $I_{A2}=0$):

$E_2 = V_m - V_b = 0,1 \text{ В} - 0 \text{ В} = 0,1 \text{ В}$.

Ответ: При условии, что в схеме допущена опечатка (и $R_2$ параллелен $E_2$), ЭДС источников равны: $E_1 = 0 \text{ В}$, $E_2 = 0,1 \text{ В}$.