Номер 1052, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Тепловое расширение жидких и твёрдых тел - номер 1052, страница 160.

Условие.

1052. [922] Покажите, что изменение площади однородной прямоугольной пластинки длиной $\text{a}$ и шириной $\text{b}$ при нагревании на $\Delta T$ равно $2\alpha ab\Delta T$. Коэффициент линейного расширения $\alpha$, величинами порядка $(\alpha\Delta T)^2$ можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная длина прямоугольной пластинки - $\text{a}$
Начальная ширина прямоугольной пластинки - $\text{b}$
Изменение температуры - $\Delta T$
Коэффициент линейного расширения - $\alpha$

Найти:

Показать, что изменение площади пластинки $\Delta S = 2\alpha ab \Delta T$.

Решение:

Начальная площадь $S_0$ однородной прямоугольной пластинки определяется как произведение ее длины $\text{a}$ на ширину $\text{b}$:

$S_0 = a \cdot b$

При нагревании на температуру $\Delta T$ линейные размеры пластинки увеличиваются. Новые значения длины $a'$ и ширины $b'$ можно найти по формуле линейного теплового расширения $L' = L_0(1 + \alpha \Delta T)$, где $L_0$ — начальная длина, а $\alpha$ — коэффициент линейного расширения.

Таким образом, новая длина пластинки:

$a' = a(1 + \alpha \Delta T)$

А новая ширина:

$b' = b(1 + \alpha \Delta T)$

Площадь пластинки после нагревания $S'$ будет равна произведению новых длины и ширины:

$S' = a' \cdot b' = [a(1 + \alpha \Delta T)] \cdot [b(1 + \alpha \Delta T)]$

$S' = ab(1 + \alpha \Delta T)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$S' = ab(1 + 2\alpha \Delta T + (\alpha \Delta T)^2)$

$S' = ab + 2ab\alpha \Delta T + ab(\alpha \Delta T)^2$

Изменение площади $\Delta S$ — это разность между конечной и начальной площадями:

$\Delta S = S' - S_0 = (ab + 2ab\alpha \Delta T + ab(\alpha \Delta T)^2) - ab$

$\Delta S = 2ab\alpha \Delta T + ab(\alpha \Delta T)^2$

Согласно условию задачи, величинами порядка $(\alpha \Delta T)^2$ можно пренебречь. Это допущение справедливо, поскольку коэффициент линейного расширения $\alpha$ — очень малая величина (порядка $10^{-5} \text{ К}^{-1}$), и его квадрат будет пренебрежимо мал по сравнению с первой степенью этого коэффициента.

Следовательно, слагаемое $ab(\alpha \Delta T)^2$ можно считать равным нулю:

$ab(\alpha \Delta T)^2 \approx 0$

В результате получаем выражение для изменения площади:

$\Delta S \approx 2ab\alpha \Delta T$

Переставляя множители, получаем итоговую формулу, которую требовалось доказать:

$\Delta S = 2\alpha ab \Delta T$

Ответ: Мы показали, что при нагревании на $\Delta T$ изменение площади прямоугольной пластинки с начальными размерами $\text{a}$ и $\text{b}$ равно $\Delta S = 2\alpha ab \Delta T$, если пренебречь членами второго порядка малости $(\alpha \Delta T)^2$.