Номер 1056, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Тепловое расширение жидких и твёрдых тел - номер 1056, страница 160.

Условие.

1056. [926] Стальная струна длиной 3 м натянута над окном между двумя стенами. Как изменяются сила натяжения и потенциальная энергия струны при охлаждении её на 30 °C? Площадь поперечного сечения струны 1 мм². Считайте, что до охлаждения деформацией струны можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Длина струны: $L_0 = 3 \text{ м}$

Изменение температуры: $|\Delta T| = 30 \text{ }^\circ\text{C}$

Площадь поперечного сечения: $S = 1 \text{ мм}^2$

Материал струны - сталь.

Справочные данные:

Коэффициент линейного теплового расширения стали: $\alpha = 12 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}$

Модуль Юнга стали: $E = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}$

Перевод в систему СИ:

$|\Delta T| = 30 \text{ К}$

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Изменение силы натяжения: $\Delta F - ?$

Изменение потенциальной энергии: $\Delta U - ?$

Решение:

По условию задачи, до охлаждения деформацией струны можно пренебречь. Это означает, что начальная сила натяжения $F_0$ и начальная потенциальная энергия упругой деформации $U_0$ равны нулю. Следовательно, искомые изменения силы и энергии будут равны их конечным значениям после охлаждения: $\Delta F = F$ и $\Delta U = U$.

При охлаждении тела стремятся уменьшить свои линейные размеры. Величина, на которую укоротилась бы стальная струна, если бы она не была закреплена, определяется формулой теплового расширения:

$\Delta L = \alpha L_0 |\Delta T|$

Поскольку струна жестко закреплена между стенами, её длина не может измениться. Это приводит к возникновению в ней механического напряжения и силы натяжения $\text{F}$, которая как бы растягивает "укоротившуюся" струну на ту же величину $\Delta L$.

Изменение силы натяжения

Сила натяжения $\text{F}$ возникает из-за упругой деформации и описывается законом Гука. Связь между силой, напряжением $\sigma$ и относительным удлинением $\epsilon$ выражается через модуль Юнга $\text{E}$:

$\sigma = E \epsilon \implies \frac{F}{S} = E \frac{\Delta L}{L_0}$

Отсюда можно выразить силу натяжения:

$F = E S \frac{\Delta L}{L_0}$

Подставим в эту формулу выражение для $\Delta L$ из теплового расширения:

$F = E S \frac{\alpha L_0 |\Delta T|}{L_0} = E S \alpha |\Delta T|$

Как видно из формулы, сила натяжения в данном случае не зависит от начальной длины струны. Подставим числовые значения:

$F = (2 \cdot 10^{11} \text{ Па}) \cdot (10^{-6} \text{ м}^2) \cdot (12 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}) \cdot (30 \text{ К}) = 72 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения струны увеличится на $72 \text{ Н}$.

Изменение потенциальной энергии

Потенциальная энергия упруго деформированной струны равна работе, совершенной силой натяжения при её растяжении на величину $\Delta L$.

$U = \frac{F \Delta L}{2}$

Сначала вычислим величину абсолютной деформации $\Delta L$:

$\Delta L = (12 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}) \cdot (3 \text{ м}) \cdot (30 \text{ К}) = 1080 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 1.08 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Теперь можем рассчитать потенциальную энергию, накопленную в струне:

$U = \frac{72 \text{ Н} \cdot 1.08 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{2} = 36 \cdot 1.08 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0.03888 \text{ Дж} \approx 0.039 \text{ Дж}$

Ответ: Потенциальная энергия струны увеличится на $0.039 \text{ Дж}$.