Номер 1058, страница 164, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Правила Кирхгофа - номер 1058, страница 164.

Условие.

1058. H При каком соотношении ЭДС источников (рис. 230) ток через резистор $R_2$ не пойдёт? Значения $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$, $\text{R}$, $R_1$ известны.

Рис. 230

Решение.

Дано:

Электрическая схема (рис. 230), состоящая из двух источников ЭДС $\mathcal{E}_1$ и $\mathcal{E}_2$ и трех резисторов $R_1, R_2, R$.

Известны величины: $\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, R, R_1$.

Условие: ток через резистор $R_2$ равен нулю ($I_2 = 0$).

Найти:

Соотношение ЭДС $\frac{\mathcal{E}_1}{\mathcal{E}_2}$.

Решение:

Обозначим узлы в верхней и нижней части схемы как A и B соответственно. Все три ветви схемы соединены параллельно, поэтому напряжение между узлами A и B для всех ветвей одинаково. Обозначим это напряжение как $U_{AB}$.

Условие, что ток через резистор $R_2$ не идёт, означает, что ток во всей правой ветви, содержащей источник $\mathcal{E}_2$ и резистор $R_2$, равен нулю. Обозначим этот ток $I_2$. Таким образом, $I_2 = 0$.

Запишем закон Ома для участка цепи (правой ветви):

$U_{AB} = \mathcal{E}_2 - I_2 R_2$

Поскольку по условию $I_2 = 0$, то напряжение на зажимах этой ветви равно ЭДС источника в ней:

$U_{AB} = \mathcal{E}_2$

Это означает, что напряжение на двух других параллельных ветвях также равно $\mathcal{E}_2$.

Теперь рассмотрим оставшуюся часть схемы, состоящую из левой и центральной ветвей. Так как ток в правую ветвь не течет ($I_2 = 0$), то по первому правилу Кирхгофа для узла A, ток, протекающий через левую ветвь ($I_1$), должен быть равен току, протекающему через центральную ветвь ($I_R$):

$I_1 = I_R$

Выразим эти токи через напряжение $U_{AB} = \mathcal{E}_2$ и параметры соответствующих ветвей.

Для левой ветви, содержащей источник $\mathcal{E}_1$ и резистор $R_1$, закон Ома для участка цепи имеет вид:

$U_{AB} = \mathcal{E}_1 - I_1 R_1$

Подставляя $U_{AB} = \mathcal{E}_2$, получаем:

$\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_1 - I_1 R_1$

Отсюда выразим ток $I_1$:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2}{R_1}$

Для центральной ветви, содержащей только резистор $\text{R}$, по закону Ома:

$U_{AB} = I_R R$

Подставляя $U_{AB} = \mathcal{E}_2$, получаем:

$\mathcal{E}_2 = I_R R$

Отсюда выразим ток $I_R$:

$I_R = \frac{\mathcal{E}_2}{R}$

Теперь приравняем выражения для токов $I_1$ и $I_R$:

$\frac{\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2}{R_1} = \frac{\mathcal{E}_2}{R}$

Решим это уравнение относительно соотношения $\frac{\mathcal{E}_1}{\mathcal{E}_2}$:

$R(\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2) = R_1 \mathcal{E}_2$

$R \mathcal{E}_1 - R \mathcal{E}_2 = R_1 \mathcal{E}_2$

$R \mathcal{E}_1 = R_1 \mathcal{E}_2 + R \mathcal{E}_2$

$R \mathcal{E}_1 = (R_1 + R) \mathcal{E}_2$

Разделим обе части уравнения на $R \mathcal{E}_2$:

$\frac{\mathcal{E}_1}{\mathcal{E}_2} = \frac{R_1 + R}{R}$

Это соотношение можно также записать в виде:

$\frac{\mathcal{E}_1}{\mathcal{E}_2} = 1 + \frac{R_1}{R}$

Заметим, что искомое соотношение не зависит от сопротивления $R_2$.

Ответ:

Ток через резистор $R_2$ не пойдёт при следующем соотношении ЭДС источников: $\frac{\mathcal{E}_1}{\mathcal{E}_2} = \frac{R + R_1}{R}$.