Номер 1051, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Тепловое расширение жидких и твёрдых тел - номер 1051, страница 160.

Условие.

1051. [921] При температуре $0 \text{ °C}$ диаметр колёс вагона равен $1 \text{ м}$. На сколько будет отличаться число оборотов колёс вагона летом ($t_1 = 25 \text{ °C}$) от числа оборотов этих колёс зимой ($t_2 = -25 \text{ °C}$) на длине пути $60 \text{ км}$? Коэффициент линейного расширения материала колеса $1,2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$.

Решение.

Дано:
$t_0 = 0 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$D_0 = 1 \text{ м}$
$t_1 = 25 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$t_2 = -25 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$S = 60 \text{ км}$
$\alpha = 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

$S = 60 \text{ км} = 60 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:
$\Delta N$ — разность числа оборотов колёс летом и зимой.

Решение:
Число оборотов $\text{N}$, которое совершит колесо на пути $\text{S}$, определяется как отношение длины пути к длине окружности колеса $\text{C}$: $N = \frac{S}{C}$.
Длина окружности колеса зависит от его диаметра $\text{D}$ по формуле: $C = \pi D$.
При изменении температуры линейные размеры тела, в том числе диаметр колеса, изменяются. Это явление называется тепловым расширением и описывается формулой: $D = D_0(1 + \alpha \Delta t)$, где $D_0$ — начальный диаметр при температуре $t_0$, а $\Delta t = t - t_0$ — изменение температуры.
В задаче начальная температура, при которой диаметр равен $D_0$, составляет $t_0 = 0 \text{ }^{\circ}\text{C}$.
Найдем диаметры колеса летом ($D_1$ при $t_1 = 25 \text{ }^{\circ}\text{C}$) и зимой ($D_2$ при $t_2 = -25 \text{ }^{\circ}\text{C}$).
$D_1 = D_0(1 + \alpha t_1)$
$D_2 = D_0(1 + \alpha t_2)$
Теперь можно выразить число оборотов колеса летом ($N_1$) и зимой ($N_2$):
$N_1 = \frac{S}{C_1} = \frac{S}{\pi D_1} = \frac{S}{\pi D_0(1 + \alpha t_1)}$
$N_2 = \frac{S}{C_2} = \frac{S}{\pi D_2} = \frac{S}{\pi D_0(1 + \alpha t_2)}$
Зимой температура ниже, поэтому диаметр колеса меньше ($D_2 < D_1$), следовательно, для прохождения того же расстояния потребуется большее число оборотов ($N_2 > N_1$). Найдем разность числа оборотов:
$\Delta N = N_2 - N_1 = \frac{S}{\pi D_0(1 + \alpha t_2)} - \frac{S}{\pi D_0(1 + \alpha t_1)}$
Вынесем общий множитель за скобки и приведем к общему знаменателю:
$\Delta N = \frac{S}{\pi D_0} \left( \frac{1}{1 + \alpha t_2} - \frac{1}{1 + \alpha t_1} \right) = \frac{S}{\pi D_0} \frac{(1 + \alpha t_1) - (1 + \alpha t_2)}{(1 + \alpha t_2)(1 + \alpha t_1)} = \frac{S}{\pi D_0} \frac{\alpha (t_1 - t_2)}{(1 + \alpha t_1)(1 + \alpha t_2)}$
Так как величина $\alpha t$ очень мала по сравнению с единицей (например, $\alpha t_1 = 1.2 \cdot 10^{-5} \cdot 25 = 3 \cdot 10^{-4} \ll 1$), то значение знаменателя $(1 + \alpha t_1)(1 + \alpha t_2)$ очень близко к 1. Поэтому можно использовать приближенную формулу:
$\Delta N \approx \frac{S \alpha (t_1 - t_2)}{\pi D_0}$
Подставим числовые значения. Разность температур $t_1 - t_2 = 25 - (-25) = 50 \text{ }^{\circ}\text{C}$. Поскольку шкалы Цельсия и Кельвина имеют одинаковую цену деления, разность температур в Кельвинах также будет равна 50 К.
$\Delta N \approx \frac{60 \cdot 10^3 \text{ м} \cdot 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1} \cdot 50 \text{ К}}{\pi \cdot 1 \text{ м}}$
$\Delta N \approx \frac{60 \cdot 1.2 \cdot 50 \cdot 10^{-2}}{\pi} = \frac{3600 \cdot 1.2 \cdot 10^{-2}}{\pi} = \frac{36}{\pi}$
$\Delta N \approx \frac{36}{3.14159} \approx 11.459$
Округляя, получаем $\Delta N \approx 11.5$.

Ответ: Число оборотов колёс вагона летом будет отличаться от числа оборотов зимой примерно на 11.5.