Номер 1044, страница 155, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Свойства жидкости - номер 1044, страница 155.

Условие.

1044. [914] Определите давление воздуха в пузырьке радиусом $\text{20 мкм}$, находящемся в воде на глубине $\text{2 м}$. Плотность воды $\text{10}^3 \text{ кг/м}^3$, атмосферное давление $\text{1,013} \cdot \text{10}^5 \text{ Па}$.

Решение.

Дано:

Радиус пузырька, $r = 20$ мкм
Глубина, $h = 2$ м
Плотность воды, $\rh°= 10^3$ кг/м³
Атмосферное давление, $P_a = 1,013 \cdot 10^5$ Па

Перевод в систему СИ:
$r = 20 \text{ мкм} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Найти:

Давление воздуха в пузырьке, $P_{пуз}$

Решение:

Давление воздуха внутри пузырька ($P_{пуз}$) складывается из трех составляющих: атмосферного давления ($P_a$), гидростатического давления столба воды ($P_г$) и добавочного давления, обусловленного кривизной поверхности (давление Лапласа, $P_Л$).

Общая формула для давления внутри пузырька:
$P_{пуз} = P_a + P_г + P_Л$

1. Гидростатическое давление рассчитывается по формуле:
$P_г = \rh°g h$
где $\rho$ - плотность воды, $\text{g}$ - ускорение свободного падения (примем $g \approx 9,8$ м/с²), $\text{h}$ - глубина.

2. Давление Лапласа для сферической поверхности рассчитывается по формуле:
$P_Л = \frac{2\sigma}{r}$
где $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости. В условии задачи он не дан, поэтому примем стандартное значение для воды при комнатной температуре $\sigma \approx 0,073$ Н/м. $\text{r}$ - радиус пузырька.

Подставим значения и произведем вычисления:

Рассчитаем гидростатическое давление:
$P_г = 10^3 \text{ кг/м³} \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot 2 \text{ м} = 19600 \text{ Па} = 0,196 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Рассчитаем давление Лапласа:
$P_Л = \frac{2 \cdot 0,073 \text{ Н/м}}{2 \cdot 10^{-5} \text{ м}} = \frac{0,146}{2 \cdot 10^{-5}} \text{ Па} = 0,073 \cdot 10^5 \text{ Па} = 7300 \text{ Па}$

Теперь найдем общее давление внутри пузырька, суммируя все компоненты:
$P_{пуз} = P_a + P_г + P_Л = 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па} + 0,196 \cdot 10^5 \text{ Па} + 0,073 \cdot 10^5 \text{ Па}$
$P_{пуз} = (1,013 + 0,196 + 0,073) \cdot 10^5 \text{ Па} = 1,282 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Или в Паскалях:
$P_{пуз} = 101300 \text{ Па} + 19600 \text{ Па} + 7300 \text{ Па} = 128200 \text{ Па}$

Ответ: давление воздуха в пузырьке составляет $1,282 \cdot 10^5$ Па.