Номер 1042, страница 155, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Свойства жидкости - номер 1042, страница 155.

Условие.

1042. [912] Тридцать капель ртути радиусом 1 мм каждая сливаются в одну каплю. Определите количество выделившейся при этом теплоты. Коэффициент поверхностного натяжения ртути 0,47 Н/м.

Решение.

Дано:

Число капель, $N = 30$

Радиус каждой капли, $r = 1 \text{ мм}$

Коэффициент поверхностного натяжения ртути, $\sigma = 0,47 \text{ Н/м}$

Перевод в систему СИ:
$r = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Количество выделившейся теплоты, $\text{Q}$

Решение:

При слиянии маленьких капель в одну большую общая площадь их поверхности уменьшается. Поверхностная энергия жидкости прямо пропорциональна площади ее поверхности: $E = \sigma S$. Уменьшение поверхностной энергии приводит к выделению тепла. Количество выделившейся теплоты $\text{Q}$ равно изменению (уменьшению) поверхностной энергии системы:

$Q = \Delta E = E_{нач} - E_{кон} = \sigma (S_{нач} - S_{кон})$

где $S_{нач}$ — суммарная площадь поверхности всех маленьких капель, а $S_{кон}$ — площадь поверхности большой капли, образовавшейся после слияния.

1. Найдем начальную площадь поверхности. Каждая капля представляет собой шар. Площадь поверхности одного шара радиусом $\text{r}$ равна $4\pi r^2$. Суммарная площадь поверхности $\text{N}$ капель:

$S_{нач} = N \cdot 4\pi r^2$

2. Найдем радиус $\text{R}$ большой капли. При слиянии капель их общий объем сохраняется. Объем одной маленькой капли $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$. Общий объем $\text{N}$ капель $V_{общ} = N \cdot V_1 = N \frac{4}{3}\pi r^3$. Объем большой капли $V_{кон} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Приравнивая объемы, получаем:

$N \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$

$N r^3 = R^3$

$R = r \sqrt[3]{N}$

3. Найдем конечную площадь поверхности. Площадь поверхности большой капли с радиусом $\text{R}$:

$S_{кон} = 4\pi R^2 = 4\pi (r \sqrt[3]{N})^2 = 4\pi r^2 N^{2/3}$

4. Вычислим количество выделившейся теплоты. Изменение площади поверхности:

$\Delta S = S_{нач} - S_{кон} = N \cdot 4\pi r^2 - 4\pi r^2 N^{2/3} = 4\pi r^2 (N - N^{2/3})$

Тогда количество теплоты:

$Q = \sigma \Delta S = 4\pi \sigma r^2 (N - N^{2/3})$

Подставим числовые значения:

$Q = 4\pi \cdot 0,47 \frac{Н}{м} \cdot (10^{-3} м)^2 (30 - 30^{2/3})$

$30^{2/3} = (\sqrt[3]{30})^2 \approx (3,1072)^2 \approx 9,655$

$Q \approx 4 \cdot 3,1416 \cdot 0,47 \cdot 10^{-6} \cdot (30 - 9,655) \text{ Дж}$

$Q \approx 5,906 \cdot 10^{-6} \cdot 20,345 \text{ Дж}$

$Q \approx 120,1 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $Q \approx 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.