Номер 1040, страница 148, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1040, страница 148.

Условие.

1040. [904] Площади сечений поршней гидравлического пресса, заполненного водой, равны соответственно $100$ и $\text{10}$ $\text{см}^2$. На больший поршень помещают груз массой $\text{2}$ $\text{кг}$. На какую высоту поднимается при этом малый поршень?

Решение.

Дано:

$S_1 = 100 \text{ см}^2$ (площадь большего поршня)

$S_2 = 10 \text{ см}^2$ (площадь малого поршня)

$m = 2 \text{ кг}$

Пресс заполнен водой, плотность которой $\rh°\approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$

$S_2 = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.001 \text{ м}^2$

Найти:

$h_2$ — высота подъема малого поршня.

Решение:

Когда на больший поршень помещают груз, он создает дополнительное давление $p_1$. Это давление заставляет больший поршень опуститься на высоту $h_1$, а малый поршень — подняться на высоту $h_2$. Система достигнет нового состояния равновесия, когда давление, создаваемое грузом, будет уравновешено гидростатическим давлением столба жидкости, образовавшегося из-за разности уровней поршней $\Delta h = h_1 + h_2$.

Дополнительное давление, создаваемое грузом на большой поршень, определяется по формуле:

$p_1 = \frac{F_1}{S_1} = \frac{mg}{S_1}$

Гидростатическое давление, создаваемое разностью уровней жидкости, равно:

$p_2 = \rh°g \Delta h = \rh°g (h_1 + h_2)$

В состоянии равновесия $p_1 = p_2$:

$\frac{mg}{S_1} = \rh°g (h_1 + h_2)$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$ (ускорение свободного падения):

$\frac{m}{S_1} = \rh°(h_1 + h_2)$

Поскольку вода считается несжимаемой жидкостью, объем воды, вытесненный большим поршнем при его опускании, равен объему воды, который поднял малый поршень:

$V_1 = V_2$

$S_1 h_1 = S_2 h_2$

Из этого соотношения выразим высоту опускания большого поршня $h_1$ через высоту подъема малого поршня $h_2$:

$h_1 = \frac{S_2}{S_1} h_2$

Теперь подставим это выражение для $h_1$ в уравнение равновесия давлений:

$\frac{m}{S_1} = \rh°\left( \frac{S_2}{S_1} h_2 + h_2 \right)$

Вынесем $h_2$ за скобки в правой части:

$\frac{m}{S_1} = \rh°h_2 \left( \frac{S_2}{S_1} + 1 \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{m}{S_1} = \rh°h_2 \left( \frac{S_2 + S_1}{S_1} \right)$

Домножим обе части уравнения на $S_1$, чтобы упростить его:

$m = \rh°h_2 (S_1 + S_2)$

Из полученного уравнения выразим искомую высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{m}{\rh°(S_1 + S_2)}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$h_2 = \frac{2 \text{ кг}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (0.01 \text{ м}^2 + 0.001 \text{ м}^2)} = \frac{2}{1000 \cdot 0.011} = \frac{2}{11} \approx 0.182 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для наглядности: $0.182 \text{ м} = 18.2 \text{ см}$.

Ответ: малый поршень поднимется на высоту примерно 18.2 см.