Номер 1033, страница 148, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1033, страница 148.

Условие.

1033. [897] Свая массой 73,5 кг, длиной 10 м и площадью поперечного сечения $10 \text{ см}^2$ полностью погружена в воду. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы вытащить её из воды?

Решение.

Дано:

$m = 73,5$ кг (масса сваи)

$L = 10$ м (длина сваи)

$S = 10 \text{ см}^2$ (площадь поперечного сечения)

$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$g = 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Переведем площадь сечения в систему СИ:

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$.

Найти:

$\text{A}$ - минимальная работа по извлечению сваи из воды.

Решение:

Минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы вытащить сваю из воды, можно найти как работу против равнодействующей силы тяжести и выталкивающей силы Архимеда. Процесс извлечения сваи состоит в ее подъеме на высоту $\text{L}$.

На сваю действуют две силы, направленные вертикально: сила тяжести $F_g$ (вниз) и сила Архимеда $F_A$ (вверх). Для медленного подъема сваи нужно приложить силу $\text{F}$, равную по модулю разности этих сил:

$F = F_g - F_A$

Сила тяжести постоянна и равна:

$F_g = m \cdot g = 73,5 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 720,3 \text{ Н}$

Сила Архимеда зависит от объема погруженной части сваи и уменьшается по мере ее извлечения из воды. Когда свая полностью погружена, сила Архимеда максимальна. Когда свая полностью извлечена из воды, сила Архимеда равна нулю.

Так как приложенная сила $\text{F}$ изменяется в процессе подъема, работа вычисляется как произведение средней силы на перемещение.

$A = F_{ср} \cdot L$

Сила $\text{F}$ изменяется линейно от начального значения $F_{нач}$ до конечного $F_{кон}$. Поэтому средняя сила равна:

$F_{ср} = \frac{F_{нач} + F_{кон}}{2}$

Найдем начальную силу $F_{нач}$ (когда свая полностью в воде). В этом случае сила Архимеда максимальна:

$F_{A,нач} = \rho_в \cdot g \cdot V$, где $\text{V}$ - объем сваи.

$V = S \cdot L = 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 10 \text{ м} = 0,01 \text{ м}^3$

$F_{A,нач} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,01 \text{ м}^3 = 98 \text{ Н}$

Тогда начальная приложенная сила:

$F_{нач} = F_g - F_{A,нач} = 720,3 \text{ Н} - 98 \text{ Н} = 622,3 \text{ Н}$

Найдем конечную силу $F_{кон}$ (когда свая полностью извлечена из воды). В этом случае сила Архимеда равна нулю ($F_{A,кон} = 0$), и приложенная сила равна силе тяжести:

$F_{кон} = F_g = 720,3 \text{ Н}$

Теперь можем вычислить работу:

$A = \frac{F_{нач} + F_{кон}}{2} \cdot L = \frac{622,3 \text{ Н} + 720,3 \text{ Н}}{2} \cdot 10 \text{ м}$

$A = \frac{1342,6 \text{ Н}}{2} \cdot 10 \text{ м} = 671,3 \text{ Н} \cdot 10 \text{ м} = 6713 \text{ Дж}$

Ответ: минимальная работа, которую надо совершить, чтобы вытащить сваю из воды, равна $6713$ Дж или $6,713$ кДж.