Номер 1034, страница 148, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1034, страница 148.

Условие.

1034. [898] Тело плавает в воде так, что под водой находится половина его объёма. С каким ускорением надо перемещать сосуд вверх, чтобы тело полностью погрузилось в воду?

Решение.

Дано:

Погруженная часть объема в состоянии покоя: $V_{погр1} = \frac{1}{2}V$

Полный объем тела: $\text{V}$

Погруженная часть объема в состоянии движения: $V_{погр2} = V$

Плотность воды: $\rho_в$

Плотность тела: $\rho_т$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

$\text{a}$ — ?

Решение:

Разобьем решение на два этапа.

1. Рассмотрим состояние, когда тело плавает в покоящейся воде. В этом случае на тело действуют две силы: сила тяжести $F_т$, направленная вниз, и выталкивающая сила Архимеда $F_{A1}$, направленная вверх. Тело находится в равновесии, следовательно, эти силы равны:

$F_т = F_{A1}$

Сила тяжести определяется как произведение массы тела $m_т$ на ускорение свободного падения $\text{g}$. Массу можно выразить через плотность тела $\rho_т$ и его объем $\text{V}$: $F_т = m_т g = \rho_т V g$.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_{A1} = \rho_в g V_{погр1}$. По условию задачи, $V_{погр1} = \frac{1}{2}V$.

Подставим выражения для сил в условие равновесия:

$\rho_т V g = \rho_в g (\frac{1}{2}V)$

Сократив общие множители $\text{V}$ и $\text{g}$, найдем соотношение между плотностями тела и воды:

$\rho_т = \frac{1}{2}\rho_в$

2. Теперь рассмотрим состояние, когда сосуд движется вертикально вверх с ускорением $\text{a}$. Для того чтобы тело оказалось полностью погруженным в воду, оно должно находиться в состоянии безразличного равновесия (плавать) внутри жидкости. Это означает, что в системе отсчета, связанной с движущимся сосудом, сила тяжести вместе с силой инерции должна быть уравновешена выталкивающей силой.

В неинерциальной системе отсчета, движущейся с ускорением $\text{a}$ вверх, вес тела $\text{P}$ (эффективная сила тяжести) равен:

$P = m_т g + m_т a = m_т(g+a) = \rho_т V (g+a)$

Выталкивающая сила $F_{A2}$ при полном погружении тела в воду ($V_{погр2} = V$) определяется по стандартной формуле:

$F_{A2} = \rho_в g V$

Приравняем вес тела в неинерциальной системе отсчета и выталкивающую силу:

$P = F_{A2}$

$\rho_т V (g+a) = \rho_в g V$

Сократим на объем $\text{V}$:

$\rho_т (g+a) = \rho_в g$

Теперь подставим в это уравнение соотношение плотностей $\rho_т = \frac{1}{2}\rho_в$, найденное на первом этапе:

$(\frac{1}{2}\rho_в)(g+a) = \rho_в g$

Сократим на $\rho_в$:

$\frac{1}{2}(g+a) = g$

$g+a = 2g$

Отсюда находим искомое ускорение:

$a = 2g - g = g$

Ответ: Тело полностью погрузится в воду, если перемещать сосуд вверх с ускорением, равным ускорению свободного падения, то есть $a=g$.