Номер 1027, страница 147, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1027, страница 147.

Условие.

1027. [891] На границе раздела двух жидкостей плотностями $\rho_1$ и $\rho_2$ плавает шайба плотностью $\rho$ $(\rho_1 < \rho < \rho_2)$. Высота шайбы $\text{h}$. Определите глубину погружения шайбы во вторую жидкость.

Решение.

Дано:

$ρ_1$ - плотность первой (верхней) жидкости

$ρ_2$ - плотность второй (нижней) жидкости

$ρ$ - плотность шайбы, причем $ρ_1 < ρ < ρ_2$

$\text{h}$ - высота шайбы

Найти:

$\text{x}$ - глубину погружения шайбы во вторую жидкость

Решение:

Шайба плавает на границе раздела двух жидкостей, следовательно, она находится в состоянии равновесия. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на шайбу, уравновешена суммарной выталкивающей силой (силой Архимеда), которая складывается из сил, действующих со стороны обеих жидкостей.

Пусть $\text{S}$ - площадь основания шайбы (предполагаем, что шайба имеет форму цилиндра или призмы). Тогда объем всей шайбы $V = S \cdot h$.

Сила тяжести $F_g$, действующая на шайбу, вычисляется по формуле:

$F_g = m \cdot g = ρ \cdot V \cdot g = ρShg$

Обозначим глубину погружения шайбы во вторую (нижнюю) жидкость как $\text{x}$. Тогда часть высоты шайбы, погруженная в первую (верхнюю) жидкость, будет равна $(h - x)$.

Выталкивающая сила со стороны первой жидкости, $F_{A1}$, действует на объем $V_1 = S(h - x)$:

$F_{A1} = ρ_1 g V_1 = ρ_1 g S (h - x)$

Выталкивающая сила со стороны второй жидкости, $F_{A2}$, действует на объем $V_2 = S \cdot x$:

$F_{A2} = ρ_2 g V_2 = ρ_2 g S x$

Общая выталкивающая сила $F_A$ является суммой сил $F_{A1}$ и $F_{A2}$:

$F_A = F_{A1} + F_{A2} = ρ_1 g S (h - x) + ρ_2 g S x$

Запишем условие равновесия шайбы $F_g = F_A$:

$ρShg = ρ_1 g S (h - x) + ρ_2 g S x$

Можно сократить обе части уравнения на $Sg$, так как $S \neq 0$ и $g \neq 0$:

$ρh = ρ_1 (h - x) + ρ_2 x$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{x}$:

$ρh = ρ_1 h - ρ_1 x + ρ_2 x$

Сгруппируем слагаемые с $\text{x}$ в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$ρh - ρ_1 h = ρ_2 x - ρ_1 x$

$h(ρ - ρ_1) = x(ρ_2 - ρ_1)$

Отсюда выражаем искомую глубину погружения $\text{x}$:

$x = \frac{h(ρ - ρ_1)}{ρ_2 - ρ_1}$

Ответ: $x = h \frac{\rh°- \rho_1}{\rho_2 - \rho_1}$