Номер 1022, страница 146, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1022, страница 146.

Условие.

1022. [886] В открытый сосуд налиты вода и керосин, массы жидкостей одинаковы. Общая высота двух слоёв жидкостей $1,125$ м. Определите давление на дно сосуда. Плотность керосина $800$ кг/м$^3$. Атмосферное давление $1,013 \cdot 10^5$ Па.

Решение.

Дано:

$m_в = m_к$ (массы воды и керосина равны)

$H = 1.125$ м

$\rho_к = 800$ кг/м³

$p_{атм} = 1.013 \cdot 10^5$ Па

$\rho_в = 1000$ кг/м³ (табличное значение плотности воды)

$g \approx 10$ Н/кг (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{p}$

Решение:

Давление на дно открытого сосуда складывается из атмосферного давления и гидростатического давления столбов жидкостей (воды и керосина). Поскольку плотность керосина ($\rho_к = 800$ кг/м³) меньше плотности воды ($\rho_в = 1000$ кг/м³), керосин будет находиться сверху, а вода — снизу.

Формула для полного давления на дно сосуда:

$p = p_{атм} + p_к + p_в$

Гидростатическое давление каждого слоя жидкости определяется по формуле $p_{гидр} = \rh°g h$. Таким образом:

$p = p_{атм} + \rho_к g h_к + \rho_в g h_в$

где $h_к$ и $h_в$ – высоты слоев керосина и воды соответственно.

Найдем высоты слоев $h_к$ и $h_в$. По условию, общая высота слоев равна $\text{H}$:

$h_к + h_в = H = 1.125$ м

Также по условию равны массы жидкостей, $m_к = m_в$. Массу можно выразить через плотность и объем: $m = \rh°V$. Объем слоя жидкости в сосуде с постоянной площадью поперечного сечения $\text{S}$ равен $V = S h$.

$m_к = \rho_к S h_к$

$m_в = \rho_в S h_в$

Приравняем массы:

$\rho_к S h_к = \rho_в S h_в$

Сократив $\text{S}$, получим соотношение между высотами:

$\rho_к h_к = \rho_в h_в$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $h_к + h_в = 1.125$

2) $800 \cdot h_к = 1000 \cdot h_в \implies h_к = \frac{1000}{800} h_в = 1.25 h_в$

Подставим выражение для $h_к$ из второго уравнения в первое:

$1.25 h_в + h_в = 1.125$

$2.25 h_в = 1.125$

$h_в = \frac{1.125}{2.25} = 0.5$ м

Теперь найдем высоту слоя керосина:

$h_к = 1.125 - h_в = 1.125 - 0.5 = 0.625$ м

Теперь мы можем рассчитать гидростатическое давление каждого слоя:

$p_к = \rho_к g h_к = 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 0.625 \text{ м} = 5000$ Па

$p_в = \rho_в g h_в = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 0.5 \text{ м} = 5000$ Па

Общее давление на дно сосуда равно:

$p = p_{атм} + p_к + p_в = 1.013 \cdot 10^5 \text{ Па} + 5000 \text{ Па} + 5000 \text{ Па}$

$p = 101300 \text{ Па} + 10000 \text{ Па} = 111300$ Па

Выразим ответ в стандартном виде:

$p = 1.113 \cdot 10^5$ Па

Ответ: $1.113 \cdot 10^5$ Па.