Номер 1026, страница 147, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1026, страница 147.

Условие.

1026. [890] Деревянный кубик с ребром 9 см плавает в воде, на $ \frac{2}{3} $ своего объёма погружённый в воду. Определите массу груза, который надо положить на кубик, чтобы он полностью погрузился в воду.

Решение.

Дано:

Ребро деревянного кубика, $a = 9$ см

Доля погруженного в воду объема, $k = \frac{2}{3}$

Плотность воды (табличное значение), $\rho_в \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Перевод в систему СИ:
$a = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Массу груза, $m_г$

Решение:

1. Когда кубик плавает в воде без груза, он находится в равновесии. Это означает, что действующая на него сила тяжести $F_{т.к.} = m_к g$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_{А1}$.

$F_{т.к.} = F_{А1}$

Сила Архимеда определяется весом вытесненной жидкости: $F_{А1} = \rho_в g V_{погр}$, где $V_{погр}$ — объем погруженной части тела. По условию, кубик погружен на $2/3$ своего объема, то есть $V_{погр} = \frac{2}{3}V_к$, где $V_к$ — полный объем кубика.

Тогда условие равновесия имеет вид:

$m_к g = \rho_в g (\frac{2}{3} V_к)$

Отсюда можно выразить массу кубика $m_к$:

$m_к = \frac{2}{3} \rho_в V_к$

2. Когда на кубик кладут груз массой $m_г$, и он полностью погружается в воду, система "кубик + груз" снова находится в равновесии. Суммарная сила тяжести системы $(m_к + m_г)g$ уравновешивается новой силой Архимеда $F_{А2}$.

$(m_к + m_г)g = F_{А2}$

Поскольку кубик теперь погружен полностью, объем вытесненной воды равен полному объему кубика $V_к$. Следовательно, новая сила Архимеда равна:

$F_{А2} = \rho_в g V_к$

Подставляем это в условие равновесия:

$(m_к + m_г)g = \rho_в g V_к$

Сократив $\text{g}$, получаем: $m_к + m_г = \rho_в V_к$.

Выразим отсюда искомую массу груза $m_г$:

$m_г = \rho_в V_к - m_к$

Теперь подставим выражение для массы кубика $m_к$ из первого пункта:

$m_г = \rho_в V_к - \frac{2}{3}\rho_в V_к = (1 - \frac{2}{3})\rho_в V_к = \frac{1}{3}\rho_в V_к$

3. Вычислим необходимые величины. Сначала найдем объем кубика:

$V_к = a^3 = (0.09 \text{ м})^3 = 0.000729 \text{ м}^3$

Теперь рассчитаем массу груза:

$m_г = \frac{1}{3} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.000729 \text{ м}^3 = 0.243 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы для удобства: $0.243 \text{ кг} = 243 \text{ г}$.

Ответ: масса груза, который надо положить на кубик, чтобы он полностью погрузился в воду, равна 0.243 кг (или 243 г).