Номер 1021, страница 146, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1021, страница 146.

Условие.

1021. [885] В цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода, причём их массы одинаковы. Общая высота столба жидкости 1 м. Определите давление жидкостей на дно сосуда. Плотность ртути $13,6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано

$m_{рт} = m_{в}$

$H = 1 \text{ м}$

$\rho_{рт} = 13,6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{в} = 1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение плотности воды)

$g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение

Поскольку плотность ртути ($\rho_{рт}$) больше плотности воды ($\rho_{в}$), ртуть будет находиться внизу, а вода — сверху. Давление на дно сосуда складывается из давления столба ртути и давления столба воды.

Общее давление $\text{P}$ на дно сосуда равно сумме давлений, создаваемых столбами ртути ($P_{рт}$) и воды ($P_в$):

$P = P_{рт} + P_{в} = \rho_{рт}gh_{рт} + \rho_{в}gh_{в}$

где $h_{рт}$ и $h_{в}$ — высоты столбов ртути и воды соответственно, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Общая высота столба жидкости $\text{H}$ равна сумме высот столбов ртути и воды:

$H = h_{рт} + h_{в} = 1 \text{ м}$

По условию задачи, массы ртути и воды равны: $m_{рт} = m_{в}$. Массу жидкости можно выразить через её плотность $\rho$ и объём $\text{V}$: $m = \rh°V$. Для цилиндрического сосуда с площадью дна $\text{S}$, объём равен $V = Sh$.

Тогда равенство масс можно записать как:

$\rho_{рт} V_{рт} = \rho_{в} V_{в}$

$\rho_{рт} S h_{рт} = \rho_{в} S h_{в}$

Сократив площадь дна $\text{S}$, получим соотношение между высотами столбов жидкостей:

$\rho_{рт} h_{рт} = \rho_{в} h_{в} \implies h_{в} = h_{рт} \frac{\rho_{рт}}{\rho_{в}}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$h_{рт} + h_{в} = H$

$h_{в} = h_{рт} \frac{\rho_{рт}}{\rho_{в}}$

Подставим второе уравнение в первое:

$h_{рт} + h_{рт} \frac{\rho_{рт}}{\rho_{в}} = H$

$h_{рт} \left(1 + \frac{\rho_{рт}}{\rho_{в}}\right) = H \implies h_{рт} \frac{\rho_{в} + \rho_{рт}}{\rho_{в}} = H$

Отсюда выразим высоту столба ртути:

$h_{рт} = \frac{H \rho_{в}}{\rho_{в} + \rho_{рт}}$

И высоту столба воды:

$h_{в} = H - h_{рт} = H - \frac{H \rho_{в}}{\rho_{в} + \rho_{рт}} = \frac{H(\rho_{в} + \rho_{рт}) - H \rho_{в}}{\rho_{в} + \rho_{рт}} = \frac{H \rho_{рт}}{\rho_{в} + \rho_{рт}}$

Подставим выражения для $h_{рт}$ и $h_{в}$ в формулу для общего давления:

$P = g(\rho_{рт}h_{рт} + \rho_{в}h_{в}) = g \left( \rho_{рт} \frac{H \rho_{в}}{\rho_{в} + \rho_{рт}} + \rho_{в} \frac{H \rho_{рт}}{\rho_{в} + \rho_{рт}} \right)$

$P = g \frac{H \rho_{рт} \rho_{в} + H \rho_{в} \rho_{рт}}{\rho_{в} + \rho_{рт}} = \frac{2gH \rho_{рт} \rho_{в}}{\rho_{в} + \rho_{рт}}$

Теперь подставим числовые значения:

$P = \frac{2 \cdot 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 1 \text{ м} \cdot 13,6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3}{1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 + 13,6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3}$

$P = \frac{19,6 \cdot 13,6 \cdot 10^6}{14,6 \cdot 10^3} \text{ Па} = \frac{266,56}{14,6} \cdot 10^3 \text{ Па} \approx 18257,5 \text{ Па}$

Округлим результат до трёх значащих цифр:

$P \approx 18,3 \cdot 10^3 \text{ Па} = 18,3 \text{ кПа}$

Ответ: давление жидкостей на дно сосуда составляет приблизительно $18,3$ кПа.