Номер 1023, страница 147, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1023, страница 147.

Условие.

1023. H Полый шар плавает в жидкости, погрузившись на $\frac{1}{3}$ объема. Плотность жидкости в 4 раза меньше плотности вещества, из которого сделан шар. Какую часть объема шара составляет полость?

Решение.

Дано:

$V_{погр} = \frac{1}{3}V$

$\rho_{мат} = 4\rho_{ж}$

где $\text{V}$ — полный объём шара, $V_{погр}$ — погружённая часть объёма шара, $\rho_{мат}$ — плотность вещества, из которого сделан шар, $\rho_{ж}$ — плотность жидкости.

Найти:

$\frac{V_{пол}}{V}$

где $V_{пол}$ — объём полости внутри шара.

Решение:

Поскольку шар плавает в жидкости, он находится в равновесии. Это означает, что действующая на него сила тяжести $F_g$ уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_A$.

Условие плавания тела:

$F_g = F_A$

Сила тяжести, действующая на полый шар, определяется массой его материала $m_{мат}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$. Масса материала равна произведению его плотности $\rho_{мат}$ на его объём $V_{мат}$:

$F_g = m_{мат} \cdot g = \rho_{мат} \cdot V_{мат} \cdot g$

Выталкивающая сила, согласно закону Архимеда, равна весу вытесненной жидкости. Она зависит от плотности жидкости $\rho_{ж}$ и объёма погружённой части шара $V_{погр}$:

$F_A = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{погр}$

Приравняем выражения для силы тяжести и выталкивающей силы:

$\rho_{мат} \cdot V_{мат} \cdot g = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{погр}$

Сократим ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_{мат} \cdot V_{мат} = \rho_{ж} \cdot V_{погр}$

Теперь подставим в это уравнение данные из условия задачи: $V_{погр} = \frac{1}{3}V$ и $\rho_{мат} = 4\rho_{ж}$.

$(4\rho_{ж}) \cdot V_{мат} = \rho_{ж} \cdot (\frac{1}{3}V)$

Сократим плотность жидкости $\rho_{ж}$:

$4V_{мат} = \frac{1}{3}V$

Полный объём шара $\text{V}$ складывается из объёма материала $V_{мат}$ и объёма внутренней полости $V_{пол}$:

$V = V_{мат} + V_{пол}$

Из этого соотношения выразим объём материала: $V_{мат} = V - V_{пол}$.

Подставим это выражение в наше уравнение:

$4(V - V_{пол}) = \frac{1}{3}V$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти отношение $\frac{V_{пол}}{V}$. Раскроем скобки:

$4V - 4V_{пол} = \frac{1}{3}V$

Перенесём слагаемые, чтобы выразить $V_{пол}$:

$4V_{пол} = 4V - \frac{1}{3}V$

$4V_{пол} = (\frac{12}{3} - \frac{1}{3})V$

$4V_{пол} = \frac{11}{3}V$

Чтобы найти искомую часть, разделим обе части уравнения на $4V$:

$\frac{V_{пол}}{V} = \frac{11}{3 \cdot 4}$

$\frac{V_{пол}}{V} = \frac{11}{12}$

Ответ: полость составляет $\frac{11}{12}$ объёма шара.