Номер 1025, страница 147, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1025, страница 147.

Условие.

1025. [889] Шарик, подвешенный на пружине, опускают в воду. Растяжение пружины уменьшается при этом в 1,5 раза. Вычислите плотность материала шарика.

Решение.

Дано:

Уменьшение растяжения пружины в воде: $n = \frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = 1.5$

Плотность воды (табличное значение): $\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

$\rho_ш$ — плотность материала шарика.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие шарика, подвешенного на пружине в воздухе. На шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр1}$, направленная вверх. По первому закону Ньютона, в состоянии равновесия эти силы уравновешивают друг друга:

$F_{упр1} = F_g$

Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр1} = k \Delta x_1$, где $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\Delta x_1$ – ее растяжение. Силу тяжести можно выразить через плотность шарика $\rho_ш$ и его объем $\text{V}$: $F_g = mg = \rho_ш V g$.

Таким образом, получаем первое уравнение:

$k \Delta x_1 = \rho_ш V g$ (1)

2. Теперь рассмотрим равновесие шарика в воде. Кроме силы тяжести и силы упругости, на шарик действует выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх. Растяжение пружины в этом случае равно $\Delta x_2$, а сила упругости $F_{упр2} = k \Delta x_2$. Условие равновесия имеет вид:

$F_{упр2} + F_A = F_g$

Выразим отсюда силу упругости:

$F_{упр2} = F_g - F_A$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_в V g$, где $\rho_в$ – плотность воды. Подставляя выражения для всех сил, получаем второе уравнение:

$k \Delta x_2 = \rho_ш V g - \rho_в V g = (\rho_ш - \rho_в) V g$ (2)

3. Для нахождения плотности шарика разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{k \Delta x_1}{k \Delta x_2} = \frac{\rho_ш V g}{(\rho_ш - \rho_в) V g}$

Сократив одинаковые множители ($k, V, g$), получим соотношение:

$\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = \frac{\rho_ш}{\rho_ш - \rho_в}$

По условию задачи, растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза, то есть $\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = n = 1.5$. Подставим это значение в полученное выражение:

$n = \frac{\rho_ш}{\rho_ш - \rho_в}$

4. Выразим из этого уравнения искомую плотность шарика $\rho_ш$:

$n(\rho_ш - \rho_в) = \rho_ш$

$n\rho_ш - n\rho_в = \rho_ш$

$n\rho_ш - \rho_ш = n\rho_в$

$\rho_ш(n - 1) = n\rho_в$

$\rho_ш = \frac{n \cdot \rho_в}{n - 1}$

5. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\rho_ш = \frac{1.5 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3}}{1.5 - 1} = \frac{1500}{0.5} \frac{кг}{м^3} = 3000 \frac{кг}{м^3}$

Ответ: плотность материала шарика равна $3000 \frac{кг}{м^3}$.