Номер 1030, страница 147, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1030, страница 147.

Условие.

1030. [894] Деревянный кубик ($\rho = 850 \text{ кг/м}^3$) плавает в воде ($\rho_\text{В} = 10^3 \text{ кг/м}^3$). Поверх воды наливают слой масла ($\rho_\text{М} = 800 \text{ кг/м}^3$) так, что кубик полностью погружается в жидкость. Определите толщину слоя масла, если длина ребра кубика 10 см.

Решение.

Дано:

Плотность деревянного кубика, $\rh°= 850$ кг/м³

Плотность воды, $\rho_в = 10^3$ кг/м³

Плотность масла, $\rho_м = 800$ кг/м³

Длина ребра кубика, $a = 10$ см

$\rho_в = 1000$ кг/м³
$a = 0.1$ м

Найти:

Толщину слоя масла, $h_м$

Решение:

Поскольку кубик плавает, находясь в равновесии, сила тяжести, действующая на него, уравновешивается суммой выталкивающих сил (сил Архимеда) со стороны воды и масла.

Условие равновесия кубика: $F_т = F_{Ав} + F_{Ам}$

Сила тяжести, действующая на кубик: $F_т = m g = \rh°V g = \rh°a^3 g$, где $V = a^3$ – объем кубика.

Пусть $h_м$ – толщина слоя масла. Поскольку кубик погружен полностью, его верхняя грань находится на уровне поверхности масла. Таким образом, высота части кубика, погруженной в масло, равна $h_м$. Объем части кубика, погруженной в масло: $V_м = S \cdot h_м = a^2 h_м$.

Выталкивающая сила со стороны масла: $F_{Ам} = \rho_м g V_м = \rho_м g a^2 h_м$.

Высота части кубика, погруженной в воду, равна $h_в = a - h_м$. Объем части кубика, погруженной в воду: $V_в = S \cdot h_в = a^2 (a - h_м)$.

Выталкивающая сила со стороны воды: $F_{Ав} = \rho_в g V_в = \rho_в g a^2 (a - h_м)$.

Подставим выражения для сил в условие равновесия:

$\rh°a^3 g = \rho_в g a^2 (a - h_м) + \rho_м g a^2 h_м$

Сократим обе части уравнения на $g a^2$:

$\rh°a = \rho_в (a - h_м) + \rho_м h_м$

Раскроем скобки и выразим $h_м$:

$\rh°a = \rho_в a - \rho_в h_м + \rho_м h_м$

$\rho_в h_м - \rho_м h_м = \rho_в a - \rh°a$

$h_м (\rho_в - \rho_м) = a (\rho_в - \rho)$

$h_м = a \frac{\rho_в - \rho}{\rho_в - \rho_м}$

Подставим числовые значения:

$h_м = 0.1 \cdot \frac{1000 - 850}{1000 - 800} = 0.1 \cdot \frac{150}{200} = 0.1 \cdot 0.75 = 0.075$ м.

Переведем результат в сантиметры: $0.075$ м $= 7.5$ см.

Ответ: толщина слоя масла равна $7.5$ см.