Номер 1036, страница 148, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1036, страница 148.

Условие.

1036. [900] Льдина площадью $1 \text{ м}^2$ и толщиной $0,4 \text{ м}$ плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить её в воду?

Решение.

Дано

$S = 1 \text{ м}^2$

$H = 0.4 \text{ м}$

$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$\rho_л = 900 \text{ кг/м}^3$ (плотность льда)

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{A}$

Решение

Когда льдина плавает на поверхности воды, на нее действуют две силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх. По условию плавания тел, эти силы уравновешивают друг друга: $F_g = F_A$.

Сила тяжести: $F_g = m_л g = \rho_л V_л g = \rho_л S H g$, где $m_л$ - масса льдины, $V_л$ - ее полный объем, $\rho_л$ - плотность льда, $\text{S}$ - площадь, $\text{H}$ - толщина.

Сила Архимеда: $F_A = \rho_в g V_{погр}$, где $V_{погр}$ - объем погруженной части льдины, $\rho_в$ - плотность воды.

Пусть $h_1$ - глубина, на которую льдина погружена в воду в состоянии равновесия. Тогда $V_{погр} = S h_1$.

Приравняем силы:

$\rho_л S H g = \rho_в S h_1 g$

Отсюда найдем начальную глубину погружения:

$h_1 = H \frac{\rho_л}{\rho_в} = 0.4 \text{ м} \cdot \frac{900 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.4 \text{ м} \cdot 0.9 = 0.36 \text{ м}$

Чтобы полностью погрузить льдину, ее верхняя плоскость должна оказаться на уровне воды. Для этого необходимо сместить льдину вниз на расстояние $\Delta h$, равное высоте ее надводной части:

$\Delta h = H - h_1 = 0.4 \text{ м} - 0.36 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

При погружении льдины на дополнительную глубину $\text{x}$ (от $\text{0}$ до $\Delta h$) возникает избыточная выталкивающая сила, которую нужно скомпенсировать внешней силой $F_{внеш}$. Эта сила зависит от $\text{x}$:

$F_{внеш}(x) = \rho_в g (S \cdot x)$

Сила изменяется линейно с глубиной погружения $\text{x}$. В начале ($x=0$) она равна нулю, а в конце ($x=\Delta h$) достигает максимального значения $F_{max}$.

Работа $\text{A}$, совершаемая такой переменной силой, может быть вычислена как произведение среднего арифметического силы на перемещение:

$A = \frac{F_{начальная} + F_{конечная}}{2} \cdot \Delta h = \frac{0 + F_{max}}{2} \cdot \Delta h = \frac{1}{2} (\rho_в g S \Delta h) \cdot \Delta h = \frac{1}{2} \rho_в g S (\Delta h)^2$

Теперь подставим числовые значения:

$A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1 \text{ м}^2 \cdot (0.04 \text{ м})^2 = 500 \cdot 9.8 \cdot 0.0016 = 7.84 \text{ Дж}$

Ответ: $7.84 \text{ Дж}$.