Номер 1038, страница 148, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1038, страница 148.

Условие.

1038. [902] В один из сообщающихся сосудов одинакового сечения налита вода плотностью $p_1$, в другой — масло плотностью $p_2$. На какое расстояние переместится граница раздела жидкостей в горизонтальной трубке, соединяющей сосуды, если на поверхность воды налить слой этого же масла толщиной $\text{h}$? Площадь поперечного сечения горизонтальной трубки в $\text{k}$ раз меньше площади поперечного сечения сосудов.

Решение.

Дано:

Плотность воды: $\rho_1$

Плотность масла: $\rho_2$

Толщина добавленного слоя масла: $\text{h}$

Площадь поперечного сечения сосудов: $\text{S}$

Площадь поперечного сечения горизонтальной трубки: $\text{s}$

Соотношение площадей: $S = k \cdot s$

Найти:

Расстояние, на которое переместится граница раздела жидкостей: $\text{x}$

Решение:

В начальном состоянии, когда в сосудах находятся только вода и масло, система находится в равновесии. Давление на уровне горизонтальной трубки в обоих сосудах одинаково. Обозначим высоты столбов воды и масла над этим уровнем как $H_1$ и $H_2$ соответственно. Тогда условие равновесия имеет вид: $\rho_1 g H_1 = \rho_2 g H_2$.

Когда на поверхность воды в левом сосуде наливают слой масла толщиной $\text{h}$, создается дополнительное давление $\Delta P_{доб} = \rho_2 g h$. Это избыточное давление выводит систему из равновесия и заставляет границу раздела жидкостей в горизонтальной трубке смещаться вправо на некоторое расстояние $\text{x}$.

Перемещение границы раздела на расстояние $\text{x}$ в трубке сечением $\text{s}$ означает перемещение объема жидкости $V = s \cdot x$. Этот объем воды вытесняется из левого сосуда в правый. В результате уровень жидкости в левом сосуде (с сечением $\text{S}$) понизится на величину $\Delta H_1 = \frac{V}{S} = \frac{s \cdot x}{S} = \frac{x}{k}$. Соответственно, уровень жидкости в правом сосуде (также с сечением $\text{S}$) поднимется на такую же величину $\Delta H_2 = \frac{V}{S} = \frac{s \cdot x}{S} = \frac{x}{k}$.

Смещение уровней жидкости создает уравновешивающую разность давлений, которая противодействует начальному добавленному давлению. Эта уравновешивающая разность давлений складывается из двух частей:

1. Уменьшение давления со стороны столба воды из-за понижения его уровня на $\Delta H_1$: $\Delta P_1 = \rho_1 g \Delta H_1 = \rho_1 g \frac{x}{k}$.

2. Увеличение давления со стороны столба масла из-за повышения его уровня на $\Delta H_2$: $\Delta P_2 = \rho_2 g \Delta H_2 = \rho_2 g \frac{x}{k}$.

Общая уравновешивающая разность давлений $\Delta P_{уравн}$ равна сумме этих изменений, так как они оба способствуют компенсации избыточного давления слева: $\Delta P_{уравн} = \Delta P_1 + \Delta P_2 = \rho_1 g \frac{x}{k} + \rho_2 g \frac{x}{k}$.

Новое равновесие наступит, когда добавленное давление будет полностью скомпенсировано уравновешивающим давлением:

$\Delta P_{доб} = \Delta P_{уравн}$

$\rho_2 g h = \rho_1 g \frac{x}{k} + \rho_2 g \frac{x}{k}$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho_2 h = \frac{x}{k} (\rho_1 + \rho_2)$

Выразим отсюда искомое расстояние $\text{x}$:

$x = \frac{\rho_2 h k}{\rho_1 + \rho_2}$

Ответ:

Граница раздела жидкостей переместится на расстояние $x = \frac{\rho_2 h k}{\rho_1 + \rho_2}$.