Номер 1032, страница 147, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Гидростатика. Закон Архимеда - номер 1032, страница 147.

Условие.

1032. [896] Брусок изготовлен из сплава железа и никеля. Определите процентное содержание сплава, если известно, что брусок весит в воздухе 33,52 H, а в воде 29,6 H. Плотность железа $7,8 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, никеля $8,8 \cdot 10^3$ кг/м$^3$.

Решение.

Дано:

Вес бруска в воздухе $P_{возд} = 33,52$ Н

Вес бруска в воде $P_{воды} = 29,6$ Н

Плотность железа $\rho_{ж} = 7,8 \cdot 10^3$ кг/м³

Плотность никеля $\rho_{н} = 8,8 \cdot 10^3$ кг/м³

Плотность воды (справочное значение) $\rho_{в} = 1 \cdot 10^3$ кг/м³

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Процентное содержание железа ($w_ж$) и никеля ($w_н$) в сплаве.

Решение:

1. Определим выталкивающую силу (силу Архимеда) $F_A$, которая действует на брусок в воде. Она равна разности веса тела в воздухе и в воде:

$F_A = P_{возд} - P_{воды} = 33,52 \text{ Н} - 29,6 \text{ Н} = 3,92 \text{ Н}$

2. Найдем среднюю плотность $\rho_{сп}$ сплава, из которого изготовлен брусок. Вес бруска в воздухе $P_{возд} = m \cdot g = \rho_{сп} \cdot V \cdot g$, где $\text{m}$ - масса бруска, $\text{V}$ - его объем, $\text{g}$ - ускорение свободного падения. Сила Архимеда равна $F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$.

Из соотношения для силы Архимеда выразим объем: $V = \frac{F_A}{\rho_в \cdot g}$. Подставим это в формулу для веса:

$P_{возд} = \rho_{сп} \cdot \frac{F_A}{\rho_в \cdot g} \cdot g = \rho_{сп} \cdot \frac{F_A}{\rho_в}$

Отсюда можно выразить среднюю плотность сплава:

$\rho_{сп} = \frac{P_{возд} \cdot \rho_в}{F_A} = \frac{P_{возд} \cdot \rho_в}{P_{возд} - P_{воды}}$

Подставим числовые значения:

$\rho_{сп} = \frac{33,52 \cdot 1000}{3,92} \approx 8551$ кг/м³

3. Средняя плотность двухкомпонентного сплава связана с плотностями его составляющих и их массовыми долями ($w_ж$ для железа и $w_н$ для никеля) следующим соотношением:

$\frac{1}{\rho_{сп}} = \frac{w_ж}{\rho_ж} + \frac{w_н}{\rho_н}$

Так как в сплаве только два компонента, то $w_ж + w_н = 1$, откуда $w_н = 1 - w_ж$. Подставим это в формулу:

$\frac{1}{\rho_{сп}} = \frac{w_ж}{\rho_ж} + \frac{1 - w_ж}{\rho_н}$

4. Выразим из этого уравнения массовую долю железа $w_ж$:

$\frac{1}{\rho_{сп}} - \frac{1}{\rho_н} = w_ж \cdot (\frac{1}{\rho_ж} - \frac{1}{\rho_н})$

$\frac{\rho_н - \rho_{сп}}{\rho_{сп} \cdot \rho_н} = w_ж \cdot \frac{\rho_н - \rho_ж}{\rho_ж \cdot \rho_н}$

$w_ж = \frac{\rho_н - \rho_{сп}}{\rho_{сп} \cdot \rho_н} \cdot \frac{\rho_ж \cdot \rho_н}{\rho_н - \rho_ж} = \frac{\rho_ж \cdot (\rho_н - \rho_{сп})}{\rho_{сп} \cdot (\rho_н - \rho_ж)}$

5. Подставим числовые значения плотностей для нахождения массовой доли железа:

$w_ж = \frac{7800 \cdot (8800 - 8551)}{8551 \cdot (8800 - 7800)} = \frac{7800 \cdot 249}{8551 \cdot 1000} = \frac{1942200}{8551000} \approx 0,2271$

Таким образом, процентное содержание железа составляет $0,2271 \cdot 100\% \approx 22,7\%$.

6. Найдем массовую долю и процентное содержание никеля:

$w_н = 1 - w_ж = 1 - 0,2271 = 0,7729$

Процентное содержание никеля составляет $0,7729 \cdot 100\% \approx 77,3\%$.

Ответ: процентное содержание сплава составляет примерно 22,7% железа и 77,3% никеля.