Номер 1046, страница 155, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Свойства жидкости - номер 1046, страница 155.

Условие.

1046. [916] На сколько давление воздуха в мыльном пузырьке радиусом 1 мм больше, чем в пузырьке радиусом 2 мм? Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора $4 \cdot 10^{-2}\text{ Н/м}.

Решение.

Дано:

Радиус первого мыльного пузыря, $R_1 = 1$ мм

Радиус второго мыльного пузыря, $R_2 = 2$ мм

Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, $σ = 4 \cdot 10^{-2}$ Н/м

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 1 \cdot 10^{-3}$ м

$R_2 = 2 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Разность давлений воздуха в пузырьках, $p_1 - p_2$

Решение:

Давление воздуха внутри мыльного пузыря больше атмосферного давления на величину избыточного (лапласовского) давления. Поскольку мыльный пузырь имеет две поверхности (внутреннюю и внешнюю), избыточное давление определяется по формуле Лапласа:

$Δp = \frac{4σ}{R}$

где $Δp$ — избыточное давление, $σ$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $\text{R}$ — радиус пузыря.

Полное давление внутри пузыря равно сумме атмосферного давления $p_0$ и избыточного давления $Δp$:

$p = p_0 + Δp$

Найдем давление для каждого пузыря:

Давление в первом пузыре: $p_1 = p_0 + Δp_1 = p_0 + \frac{4σ}{R_1}$

Давление во втором пузыре: $p_2 = p_0 + Δp_2 = p_0 + \frac{4σ}{R_2}$

Требуется найти, на сколько давление в первом пузыре больше, чем во втором, то есть найти разность $p_1 - p_2$:

$p_1 - p_2 = (p_0 + \frac{4σ}{R_1}) - (p_0 + \frac{4σ}{R_2}) = \frac{4σ}{R_1} - \frac{4σ}{R_2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$p_1 - p_2 = 4σ(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$p_1 - p_2 = 4 \cdot 4 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м} \cdot (\frac{1}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} - \frac{1}{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}})$

$p_1 - p_2 = 16 \cdot 10^{-2} \cdot (1000 - 500) \text{ Па}$

$p_1 - p_2 = 16 \cdot 10^{-2} \cdot 500 \text{ Па}$

$p_1 - p_2 = 16 \cdot 5 \text{ Па} = 80 \text{ Па}$

Ответ: давление воздуха в мыльном пузыре радиусом 1 мм больше, чем в пузыре радиусом 2 мм, на 80 Па.