Номер 1047, страница 155, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Свойства жидкости - номер 1047, страница 155.

Условие.

1047. [917] Три капли воды находятся между двумя горизонтальными стеклянными пластинами массой $500 \, \text{г}$ каждая. Определите расстояние между пластинами, если известно, что стекло смазано и вода его не смачивает. Масса каждой капли $1 \, \text{г}$. Коэффициент поверхностного натяжения воды $0,073 \, \text{Н/м}$.

Решение.

Дано:

Количество капель, $n=3$
Масса стеклянной пластины, $M = 500 \, г = 0.5 \, кг$
Масса одной капли, $m_1 = 1 \, г = 10^{-3} \, кг$
Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma = 0.073 \, Н/м$
Плотность воды, $\rh°= 1000 \, кг/м^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \, м/с^2$

Найти:

Расстояние между пластинами, $\text{h}$

Решение:

Верхняя стеклянная пластина находится в равновесии под действием двух сил: силы тяжести $F_g = Mg$, направленной вниз, и силы $F_{st}$, действующей со стороны капель воды и направленной вверх.

$F_g = F_{st}$

Поскольку вода не смачивает смазанную поверхность стекла, капли воды будут отталкивать пластины друг от друга. Сила, с которой капля жидкости действует на пластины, определяется по формуле:

$F_{1} = \frac{2 \sigma A \cos\theta}{h}$

где $\text{A}$ – площадь соприкосновения капли с пластиной, $\theta$ – краевой угол.

Так как вода не смачивает стекло, мы имеем дело со случаем полного несмачивания, для которого краевой угол $\theta = 180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$. Тогда сила становится силой отталкивания:

$F_{1} = \frac{2 \sigma A (-1)}{h} = -\frac{2 \sigma A}{h}$

Знак "минус" указывает на то, что сила направлена на расталкивание пластин. По модулю эта сила равна $F_{1} = \frac{2 \sigma A}{h}$.

Поскольку между пластинами находятся три капли, суммарная сила, действующая на верхнюю пластину вверх, равна:

$F_{st} = 3 \cdot F_1 = 3 \frac{2 \sigma A}{h} = \frac{6 \sigma A}{h}$

Объем одной капли воды можно найти через ее массу и плотность: $V_1 = m_1 / \rho$. Будем считать, что капля, находясь между пластинами, принимает форму цилиндра высотой $\text{h}$ и площадью основания $\text{A}$. Тогда ее объем также равен $V_1 = A \cdot h$.

Приравнивая выражения для объема, найдем площадь соприкосновения одной капли с пластиной:

$\frac{m_1}{\rho} = A \cdot h \implies A = \frac{m_1}{\rh°h}$

Подставим это выражение для площади $\text{A}$ в формулу для суммарной силы $F_{st}$:

$F_{st} = \frac{6 \sigma}{h} \left(\frac{m_1}{\rh°h}\right) = \frac{6 \sigma m_1}{\rh°h^2}$

Теперь приравняем силу тяжести и силу поверхностного натяжения, согласно условию равновесия:

$Mg = \frac{6 \sigma m_1}{\rh°h^2}$

Выразим отсюда искомую величину $\text{h}$:

$h^2 = \frac{6 \sigma m_1}{Mg\rho}$

$h = \sqrt{\frac{6 \sigma m_1}{Mg\rho}}$

Подставим числовые значения:

$h = \sqrt{\frac{6 \cdot 0.073 \, Н/м \cdot 10^{-3} \, кг}{0.5 \, кг \cdot 9.8 \, м/с^2 \cdot 1000 \, кг/м^3}} = \sqrt{\frac{0.000438}{4900}} \, м \approx \sqrt{8.94 \cdot 10^{-8}} \, м \approx 2.99 \cdot 10^{-4} \, м$

Переведем результат в миллиметры: $2.99 \cdot 10^{-4} \, м = 0.299 \, мм \approx 0.3 \, мм$.

Ответ: расстояние между пластинами примерно равно $0.3 \, мм$.