Номер 1048, страница 160, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Тепловое расширение жидких и твёрдых тел - номер 1048, страница 160.

Условие.

1048. [918] Длина алюминиевой проволоки при температуре 0 °C равна 430 см, а длина стальной проволоки при этой же температуре равна 433 см. При какой температуре длины этих проволок будут одинаковы? Коэффициенты линейного расширения алюминия и стали равны соответственно $2,4 \cdot 10^{-5}$ и $1,2 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$.

Решение.

Дано:

Начальная температура, $t_0 = 0$ °C
Начальная длина алюминиевой проволоки, $L_{0a} = 430$ см
Начальная длина стальной проволоки, $L_{0s} = 433$ см
Коэффициент линейного расширения алюминия, $\alpha_a = 2.4 \cdot 10^{-5}$ К⁻¹
Коэффициент линейного расширения стали, $\alpha_s = 1.2 \cdot 10^{-5}$ К⁻¹

$L_{0a} = 430 \text{ см} = 4.30 \text{ м}$
$L_{0s} = 433 \text{ см} = 4.33 \text{ м}$

Найти:

Температуру $\text{t}$, при которой длины проволок станут одинаковыми.

Решение:

Длина тела при нагревании изменяется по закону линейного теплового расширения:$L = L_0(1 + \alpha \Delta t)$,где $\text{L}$ – конечная длина, $L_0$ – начальная длина, $\alpha$ – коэффициент линейного теплового расширения, а $\Delta t = t - t_0$ – изменение температуры.

Запишем это уравнение для каждой из проволок. Пусть $\text{t}$ – искомая температура, при которой их длины $L_a$ и $L_s$ станут равны.
Длина алюминиевой проволоки: $L_a = L_{0a}(1 + \alpha_a (t - t_0))$
Длина стальной проволоки: $L_s = L_{0s}(1 + \alpha_s (t - t_0))$

Согласно условию задачи, $L_a = L_s$. Приравняем правые части уравнений:
$L_{0a}(1 + \alpha_a (t - t_0)) = L_{0s}(1 + \alpha_s (t - t_0))$

Так как начальная температура $t_0 = 0$ °C, изменение температуры $\Delta t = t$.
$L_{0a}(1 + \alpha_a t) = L_{0s}(1 + \alpha_s t)$

Теперь решим это уравнение относительно температуры $\text{t}$:
$L_{0a} + L_{0a} \alpha_a t = L_{0s} + L_{0s} \alpha_s t$
$L_{0a} \alpha_a t - L_{0s} \alpha_s t = L_{0s} - L_{0a}$
$t (L_{0a} \alpha_a - L_{0s} \alpha_s) = L_{0s} - L_{0a}$
$t = \frac{L_{0s} - L_{0a}}{L_{0a} \alpha_a - L_{0s} \alpha_s}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Так как изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению в Кельвинах, мы можем использовать данные коэффициенты расширения.
$t = \frac{4.33 \text{ м} - 4.30 \text{ м}}{4.30 \text{ м} \cdot 2.4 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1} - 4.33 \text{ м} \cdot 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}}$
$t = \frac{0.03 \text{ м}}{1.032 \cdot 10^{-4} \text{ м/К} - 0.5196 \cdot 10^{-4} \text{ м/К}}$
$t = \frac{0.03}{0.5124 \cdot 10^{-4}} \text{ °C}$
$t \approx 585.5 \text{ °C}$

Ответ: длины проволок будут одинаковы при температуре приблизительно $585.5 \text{ °C}$.