Номер 3, страница 20 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

3. Какую величину называют угловым ускорением? Как она связана с касательным ускорением? С полным ускорением?

Какую величину называют угловым ускорением?

Угловым ускорением называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости тела при его вращательном движении. Оно обозначается греческой буквой эпсилон ($ \vec{\epsilon} $) или бета ($ \vec{\beta} $).

Среднее угловое ускорение за промежуток времени $ \Delta t $ определяется как отношение изменения угловой скорости $ \Delta \omega $ к этому промежутку: $ \epsilon_{ср} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1} $

Мгновенное угловое ускорение равно первой производной угловой скорости по времени: $ \vec{\epsilon} = \frac{d\vec{\omega}}{dt} $

Вектор углового ускорения $ \vec{\epsilon} $ направлен вдоль оси вращения. Если вращение ускоряется, то векторы $ \vec{\epsilon} $ и $ \vec{\omega} $ сонаправлены. Если вращение замедляется, их направления противоположны. Единицей измерения углового ускорения в системе СИ является радиан на секунду в квадрате ($ рад/с^2 $).

Ответ: Угловое ускорение – это векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени ($ \vec{\epsilon} = d\vec{\omega}/dt $) и характеризующая быстроту изменения угловой скорости.

Как она связана с касательным ускорением?

Касательное (или тангенциальное) ускорение $ \vec{a}_{\tau} $ – это составляющая полного ускорения точки, направленная по касательной к траектории. Она характеризует быстроту изменения модуля линейной скорости $ v $.

Линейная скорость $ v $ точки, находящейся на расстоянии $ R $ от оси вращения, связана с угловой скоростью $ \omega $ соотношением: $ v = \omega R $

Модуль касательного ускорения равен производной от модуля линейной скорости по времени: $ a_{\tau} = \frac{dv}{dt} = \frac{d(\omega R)}{dt} $

Поскольку радиус $ R $ для данной точки твердого тела является постоянной величиной, его можно вынести за знак производной: $ a_{\tau} = R \frac{d\omega}{dt} $

Так как по определению $ \epsilon = \frac{d\omega}{dt} $, получаем прямую связь между модулями касательного и углового ускорений: $ a_{\tau} = \epsilon R $

В векторной форме эта связь выражается через векторное произведение: $ \vec{a}_{\tau} = \vec{\epsilon} \times \vec{R} $, где $ \vec{R} $ — радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке.

Ответ: Модуль касательного ускорения $ a_{\tau} $ прямо пропорционален модулю углового ускорения $ \epsilon $ и радиусу траектории $ R $: $ a_{\tau} = \epsilon R $.

С полным ускорением?

При криволинейном движении, в том числе и при вращении по окружности, полное ускорение точки $ \vec{a} $ является векторной суммой двух взаимно перпендикулярных компонент: касательного (тангенциального) ускорения $ \vec{a}_{\tau} $ и нормального (центростремительного) ускорения $ \vec{a}_{n} $. $ \vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_{n} $

Как мы уже установили, касательное ускорение связано с угловым ускорением: $ a_{\tau} = \epsilon R $

Нормальное ускорение отвечает за изменение направления вектора скорости и направлено к центру окружности. Его модуль определяется через линейную или угловую скорость: $ a_{n} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R $

Так как векторы $ \vec{a}_{\tau} $ и $ \vec{a}_{n} $ перпендикулярны, модуль полного ускорения можно найти по теореме Пифагора: $ a = |\vec{a}| = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_{n}^2} $

Подставив выражения для $ a_{\tau} $ и $ a_{n} $ через угловые величины, получим связь полного ускорения с угловым ускорением и угловой скоростью: $ a = \sqrt{(\epsilon R)^2 + (\omega^2 R)^2} = \sqrt{\epsilon^2 R^2 + \omega^4 R^2} $

Вынося радиус $ R $ за корень, получаем окончательную формулу: $ a = R \sqrt{\epsilon^2 + \omega^4} $

Таким образом, угловое ускорение $ \epsilon $ определяет тангенциальную составляющую полного ускорения, в то время как угловая скорость $ \omega $ определяет его нормальную составляющую.

Ответ: Модуль полного ускорения точки $ a $ при вращательном движении связан с угловым ускорением $ \epsilon $ и угловой скоростью $ \omega $ через формулу $ a = R \sqrt{\epsilon^2 + \omega^4} $, где $ R $ — радиус вращения.