Номер 2, страница 20 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

2. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 54 \text{ км/ч}$

Пройденный путь $S = 600 \text{ м}$

Время движения $t = 30 \text{ с}$

Радиус закругления $R = 1 \text{ км}$

Тангенциальное ускорение $a_\tau = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

$R = 1 \cdot 1000 \text{ м} = 1000 \text{ м}$

Найти:

$v$ — модуль скорости в конце пути

$a$ — полное ускорение в конце пути

Решение:

Поскольку по условию тангенциальное ускорение $a_\tau$ постоянно, движение поезда вдоль траектории является равноускоренным. Для равноускоренного движения путь $S$, пройденный за время $t$ с начальной скоростью $v_0$, определяется формулой:

$S = v_0 t + \frac{a_\tau t^2}{2}$

Выразим из этой формулы тангенциальное ускорение и вычислим его значение:

$a_\tau = \frac{2(S - v_0 t)}{t^2} = \frac{2(600 \text{ м} - 15 \text{ м/с} \cdot 30 \text{ с})}{(30 \text{ с})^2} = \frac{2(600 - 450)}{900} = \frac{300}{900} = \frac{1}{3} \text{ м/с}^2$

Теперь, зная тангенциальное ускорение, найдем модуль скорости поезда $v$ в конце пути. Скорость при равноускоренном движении находится по формуле:

$v = v_0 + a_\tau t$

Подставим известные значения:

$v = 15 \text{ м/с} + \frac{1}{3} \text{ м/с}^2 \cdot 30 \text{ с} = 15 + 10 = 25 \text{ м/с}$

Далее определим полное ускорение поезда в конце пути. Полное ускорение $a$ является векторной суммой тангенциального $a_\tau$ и нормального (центростремительного) $a_n$ ускорений. Так как эти векторы взаимно перпендикулярны, модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$

Нормальное ускорение в конце пути зависит от конечной скорости $v$ и радиуса кривизны $R$:

$a_n = \frac{v^2}{R}$

Подставим значения для конечной точки траектории:

$a_n = \frac{(25 \text{ м/с})^2}{1000 \text{ м}} = \frac{625}{1000} = 0.625 \text{ м/с}^2$

Теперь можем найти модуль полного ускорения:

$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (0.625)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + (\frac{5}{8})^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{25}{64}}$

Приводя к общему знаменателю:

$a = \sqrt{\frac{64 + 9 \cdot 25}{9 \cdot 64}} = \sqrt{\frac{64 + 225}{576}} = \sqrt{\frac{289}{576}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{576}} = \frac{17}{24} \text{ м/с}^2$

Для получения численного значения разделим 17 на 24:

$a \approx 0.708 \text{ м/с}^2$

Ответ: модуль скорости поезда в конце пути $v = 25 \text{ м/с}$; полное ускорение поезда в конце пути $a = \frac{17}{24} \text{ м/с}^2 \approx 0.708 \text{ м/с}^2$.