Номер 4, страница 38 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

4. Как движется тело, брошенное под углом к горизонту?

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (в отсутствие сопротивления воздуха), является сложным движением, которое можно разложить на два независимых друг от друга движения: равномерное прямолинейное движение по горизонтали и равноускоренное движение по вертикали.

Рассмотрим это движение подробнее. Пусть тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту из начала координат.

1. Разложение начальной скорости на составляющие.

Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ раскладывается на две проекции:

• Горизонтальная проекция: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$
• Вертикальная проекция: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

2. Движение по горизонтали (ось OX).

По горизонтали на тело не действуют никакие силы (сопротивление воздуха пренебрежимо мало). Следовательно, ускорение в этом направлении равно нулю ($a_x = 0$). Это означает, что горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета:

$v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) = \text{const}$

Координата тела по горизонтали изменяется по закону равномерного прямолинейного движения:

$x(t) = v_{0x} \cdot t = (v_0 \cos(\alpha)) \cdot t$

3. Движение по вертикали (ось OY).

По вертикали на тело действует сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение, направленное вниз, — ускорение свободного падения $\vec{g}$. Если направить ось OY вертикально вверх, то проекция ускорения на эту ось будет отрицательной: $a_y = -g$. Движение по вертикали является равноускоренным (точнее, равнозамедленным при подъеме и равноускоренным при спуске).

Вертикальная составляющая скорости изменяется со временем по закону:

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Координата тела по вертикали изменяется по закону:

$y(t) = v_{0y} \cdot t + \frac{a_y t^2}{2} = (v_0 \sin(\alpha)) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

4. Траектория движения.

Чтобы получить уравнение траектории, то есть зависимость $y(x)$, нужно исключить время $t$ из уравнений для координат. Из уравнения для $x(t)$ выразим время: $t = \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}$. Подставим это выражение в уравнение для $y(t)$:

$y(x) = (v_0 \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}\right)^2$

Упростив, получаем:

$y(x) = x \cdot \tan(\alpha) - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2(\alpha)} \cdot x^2$

Это уравнение вида $y = ax - bx^2$, которое является уравнением параболы, ветви которой направлены вниз. Таким образом, траектория тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой параболу.

Основные характеристики полета:

• Время подъема на максимальную высоту ($t_{подъема}$): В наивысшей точке траектории вертикальная скорость $v_y$ равна нулю. $v_0 \sin(\alpha) - gt_{подъема} = 0$, откуда $t_{подъема} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$.
• Максимальная высота подъема ($H$): $H = y(t_{подъема}) = (v_0 \sin(\alpha)) \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} - \frac{g}{2} \left(\frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$.
• Общее время полета ($T$): Из соображений симметрии общее время полета (до возвращения на начальную высоту) вдвое больше времени подъема: $T = 2t_{подъема} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$.
• Дальность полета ($L$): Горизонтальное расстояние, которое тело пролетает за все время полета $T$. $L = x(T) = (v_0 \cos(\alpha)) \cdot T = (v_0 \cos(\alpha)) \cdot \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Ответ: Тело, брошенное под углом к горизонту (в идеальных условиях, без учета сопротивления воздуха), движется по параболической траектории. Его движение представляет собой наложение двух независимых движений: равномерного прямолинейного по горизонтали (с постоянной скоростью) и равноускоренного по вертикали (с постоянным ускорением свободного падения, направленным вниз).