Номер 3, страница 39 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

3. У кенгуру большие, крепкие задние ноги. Поэтому кенгуру перемещается прыжками, удерживая равновесие с помощью жесткого хвоста. Самый длинный прыжок, зарегистрированный учеными, составляет 13 м 63 см. Рекордный прыжок в высоту равен 3 м 20 см. С какой скоростью кенгуру должен отрываться от земли, чтобы достигнуть максимальной высоты? Под каким углом должен прыгнуть кенгуру, чтобы преодолеть расстояние 13 м 63 см (рис. 31)?

Рис. 31. Прыжок кенгуру – пример движение тела, брошенного под углом к горизонту

С какой скоростью кенгуру должен отрываться от земли, чтобы достигнуть максимальной высоты?

Дано:

Рекордный прыжок в высоту, $H = 3 \text{ м } 20 \text{ см}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$H = 3.2 \text{ м}$

Найти:

$v_0$ — начальная скорость

Решение:

Чтобы достигнуть максимальной высоты, кенгуру должен прыгнуть вертикально вверх. Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным с ускорением $g$. В верхней точке траектории (на максимальной высоте $H$) вертикальная скорость тела становится равной нулю. Для решения задачи можно воспользоваться законом сохранения энергии или кинематической формулой, связывающей скорость, ускорение и перемещение:

$v_{конечная}^2 = v_{начальная}^2 + 2as$

В нашем случае $v_{конечная} = 0$, $v_{начальная} = v_0$, $a = -g$ (ускорение направлено против начальной скорости), $s = H$.

$0^2 = v_0^2 - 2gH$

Отсюда выражаем начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = 2gH$

$v_0 = \sqrt{2gH}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 3.2 \text{ м}} = \sqrt{62.72 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 7.92 \text{ м/с}$

Ответ: чтобы достигнуть максимальной высоты, кенгуру должен отрываться от земли со скоростью примерно $7.92 \text{ м/с}$.

Под каким углом должен прыгнуть кенгуру, чтобы преодолеть расстояние 13 м 63 см?

Дано:

Самый длинный прыжок (дальность полета), $L = 13 \text{ м } 63 \text{ см}$

$L = 13.63 \text{ м}$

Найти:

$\alpha$ — угол прыжка

Решение:

В задаче указан "самый длинный прыжок", что соответствует максимальной дальности полета. Дальность полета тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$ (при условии, что точка старта и приземления находятся на одной высоте), определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

При неизменной начальной скорости $v_0$, которую может развить кенгуру, дальность полета $L$ будет максимальной, когда значение $\sin(2\alpha)$ будет максимальным.

Максимальное значение функции синус равно 1. Следовательно, для максимальной дальности полета должно выполняться условие:

$\sin(2\alpha) = 1$

Это равенство истинно, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2\alpha = 90^\circ$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Таким образом, чтобы совершить самый длинный прыжок, кенгуру должен прыгнуть под углом $45^\circ$ к горизонту. Значение дальности прыжка $13.63$ м является в данном случае дополнительной информацией, которая не требуется для нахождения оптимального угла.

Ответ: чтобы преодолеть максимальное расстояние, кенгуру должен прыгнуть под углом $45^\circ$.