Номер 5, страница 38 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

5. При каком условии дальность полета максимальна?

5. Для определения условия, при котором дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, будет максимальной, необходимо проанализировать уравнение его движения. В данном анализе будем пренебрегать сопротивлением воздуха и считать, что тело брошено с поверхности земли и падает на нее же.

Дано:

$v_0$ — начальная скорость тела,
$\alpha$ — угол, под которым тело брошено к горизонту,
$g$ — ускорение свободного падения.

Найти:

Условие (значение угла $\alpha$), при котором дальность полета $L$ максимальна.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (Oy) с ускорением $-g$. Поместим начало координат в точку броска.

Проекции начальной скорости на оси координат равны:
$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$ — горизонтальная составляющая;
$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ — вертикальная составляющая.

Запишем уравнения движения тела по осям:
Координата по оси X в момент времени t: $x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) t$.
Координата по оси Y в момент времени t: $y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$.

Для нахождения дальности полета сначала определим полное время полета $T$. Полет заканчивается, когда тело возвращается на начальную высоту, то есть, когда его вертикальная координата $y(T)$ снова становится равной нулю.
$y(T) = v_0 \sin(\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$
$T \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT}{2} \right) = 0$
Данное уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$ (момент начала полета) и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT_2}{2} = 0$. Из второго решения находим время полета:
$T = T_2 = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$.

Дальность полета $L$ — это расстояние, которое тело пролетело по горизонтали за время полета $T$.
$L = x(T) = v_0 \cos(\alpha) T$
Подставим в это уравнение найденное выражение для времени полета $T$:
$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$.

Для упрощения формулы используем тригонометрическое тождество синуса двойного угла: $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$. Тогда формула для дальности полета примет вид:
$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Из этой формулы видно, что при фиксированной начальной скорости $v_0$ и постоянном ускорении $g$, дальность полета $L$ зависит только от угла броска $\alpha$. Дальность полета будет максимальной, когда значение функции $\sin(2\alpha)$ будет максимальным. Максимальное значение синуса любого угла равно 1.
$\sin(2\alpha)_{max} = 1$.
Это условие выполняется, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).
$2\alpha = 90^\circ$
$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Следовательно, при заданной начальной скорости и в отсутствие сопротивления воздуха, дальность полета тела будет максимальной, если угол броска к горизонту составляет $45^\circ$.

Ответ:

Дальность полета максимальна при условии, что угол броска тела к горизонту равен $45^\circ$.