Номер 3, страница 67 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

3. Пружина жесткостью 100 Н/м и массой 400 г падает на землю с высоты 5 м. На сколько сожмется пружина, если при ударе ее ось останется вертикальной?

Дано:

Жесткость пружины, $k = 100$ Н/м

Масса пружины, $m = 400$ г

Высота, $h = 5$ м

Будем считать ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

Найти:

Максимальное сжатие пружины $x$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии. В начальный момент времени, когда пружина находится на высоте $h$, ее полная энергия является потенциальной энергией в поле тяжести Земли. В конечный момент, когда пружина максимально сжата и ее скорость равна нулю, вся начальная энергия, а также дополнительная потеря потенциальной энергии за счет сжатия, переходит в потенциальную энергию упругой деформации.

Будем рассматривать движение центра масс пружины. До удара о землю центр масс опускается на высоту $h$. После удара пружина сжимается на величину $x$, и ее центр масс опускается еще на $x$. Таким образом, общее уменьшение высоты центра масс пружины от начального положения до положения максимального сжатия составляет $(h + x)$.

Потеря гравитационной потенциальной энергии пружины равна:

$\Delta E_p = mg(h+x)$

Эта энергия полностью преобразуется в потенциальную энергию сжатой пружины в момент максимального сжатия:

$E_у = \frac{1}{2}kx^2$

Согласно закону сохранения энергии:

$\Delta E_p = E_у$

$mg(h+x) = \frac{1}{2}kx^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$\frac{1}{2}kx^2 - mgx - mgh = 0$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot x^2 - (0.4 \cdot 9.8) \cdot x - (0.4 \cdot 9.8 \cdot 5) = 0$

$50x^2 - 3.92x - 19.6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни находятся по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x = \frac{3.92 \pm \sqrt{(-3.92)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-19.6)}}{2 \cdot 50}$

$x = \frac{3.92 \pm \sqrt{15.3664 + 3920}}{100}$

$x = \frac{3.92 \pm \sqrt{3935.3664}}{100}$

$x = \frac{3.92 \pm 62.73}{100}$

Поскольку величина сжатия $x$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком "плюс":

$x = \frac{3.92 + 62.73}{100} = \frac{66.65}{100} \approx 0.67$ м

Ответ: пружина сожмется на $0.67$ м.