Страница 101 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Сколько диагональных сечений имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в)* $n$-угольная призма?

Сколько диагональных сечений имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в)* $n$-угольная пирамида?

Дано: Задача требует определения количества диагональных сечений для различных типов призм и пирамид.

Найти: Количество диагональных сечений.

Решение:

Диагональное сечение призмы – это сечение, проходящее через две нележащие в одной грани боковые ребра. Или, эквивалентно, через диагональ одного основания и соответствующую ей параллельную диагональ другого основания, образуя при этом прямоугольник или параллелограмм. Количество диагональных сечений призмы равно количеству диагоналей в ее основании. Формула для количества диагоналей в n-угольнике: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проходящее через вершину пирамиды и две не соседние вершины ее основания. При этом в сечении образуется треугольник. Количество диагональных сечений пирамиды равно количеству диагоналей в ее основании.

Сколько диагональных сечений имеет: a) треугольная; б) четырехугольная; в)* n-угольная призма?

a) треугольная

Для треугольной призмы основанием является треугольник (n=3). Число диагоналей в треугольнике: $D = \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \times 0}{2} = 0$. В треугольнике нет диагоналей, так как любые две вершины соединены ребром, и нет не соседних вершин. Поэтому невозможно провести плоскость через две нележащие в одной грани боковые ребра. Ответ: 0.

б) четырехугольная

Для четырехугольной призмы основанием является четырехугольник (n=4). Число диагоналей в четырехугольнике: $D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \times 1}{2} = 2$. Эти диагонали образуют два диагональных сечения. Ответ: 2.

в)* n-угольная призма

Для n-угольной призмы основанием является n-угольник. Количество диагональных сечений призмы равно количеству диагоналей в ее основании. Число диагоналей в n-угольнике: $D = \frac{n(n-3)}{2}$. Ответ: $ \frac{n(n-3)}{2} $.

Сколько диагональных сечений имеет: a) треугольная; б) четырехугольная; в)* n-угольная пирамида?

a) треугольная

Для треугольной пирамиды основанием является треугольник (n=3). Число диагоналей в треугольнике: $D = \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \times 0}{2} = 0$. В треугольнике нет не соседних вершин. Поэтому невозможно провести плоскость через вершину пирамиды и две не соседние вершины основания. Ответ: 0.

б) четырехугольная

Для четырехугольной пирамиды основанием является четырехугольник (n=4). Число диагоналей в четырехугольнике: $D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \times 1}{2} = 2$. Эти диагонали, проходящие через вершину пирамиды, образуют два диагональных сечения. Ответ: 2.

в)* n-угольная пирамида

Для n-угольной пирамиды основанием является n-угольник. Количество диагональных сечений пирамиды равно количеству диагоналей в ее основании. Число диагоналей в n-угольнике: $D = \frac{n(n-3)}{2}$. Ответ: $ \frac{n(n-3)}{2} $.