Страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через вершины A, B и середину K ребра SD (рис. 18.18).

Решение

Для построения сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью $\Pi$, проходящей через вершины $A$, $B$ и середину $K$ ребра $SD$, выполним следующие шаги. Сечение является многоугольником, вершинами которого являются точки пересечения плоскости $\Pi$ с рёбрами пирамиды, а сторонами - отрезки, лежащие в гранях пирамиды.

1. Сторона сечения $AB$: Точки $A$ и $B$ являются вершинами основания пирамиды $ABCDEF$. Поскольку они обе лежат в плоскости сечения $\Pi$, отрезок $AB$ является одной из сторон искомого сечения, лежащей в плоскости основания.

2. Нахождение точки $L$ на ребре $SE$ и стороны $KL$: Основание пирамиды $ABCDEF$ является правильным шестиугольником, поэтому сторона $AB$ параллельна стороне $ED$ ($AB \parallel ED$). Плоскость сечения $\Pi$ содержит прямую $AB$. Точка $K$ лежит в плоскости сечения $\Pi$ и одновременно в плоскости боковой грани $SDE$ (так как $K$ находится на ребре $SD$). Если плоскость $\Pi$ содержит прямую, параллельную другой прямой, лежащей в некоторой плоскости, то линия пересечения плоскости $\Pi$ с этой плоскостью будет параллельна упомянутой прямой. В данном случае, линия пересечения плоскости сечения $\Pi$ с плоскостью грани $SDE$ должна быть параллельна $ED$. Проведем через точку $K$ в плоскости грани $SDE$ прямую, параллельную $ED$. Эта прямая пересечет ребро $SE$ в точке $L$. Так как $K$ является серединой ребра $SD$, то из подобия треугольников $\triangle SKL$ и $\triangle SDE$ (поскольку $KL \parallel ED$) следует, что $L$ является серединой ребра $SE$. Соединим $K$ и $L$ отрезком $KL$. Отрезок $KL$ является стороной сечения, лежащей в грани $SDE$.

3. Нахождение точки $M$ на ребре $SC$ и сторон $BM$, $MK$: Для нахождения точки пересечения плоскости сечения с ребром $SC$, рассмотрим плоскость основания. Продолжим прямую $AB$ и прямую $CD$. Поскольку эти прямые не параллельны (как стороны правильного шестиугольника), они пересекутся в некоторой точке $P_1$. Точка $P_1$ лежит в плоскости основания. Так как $P_1$ лежит на прямой $AB$ (продолжение стороны сечения), она принадлежит плоскости сечения $\Pi$. Точка $P_1$ также лежит на прямой $CD$, которая находится в плоскости боковой грани $SCD$. Поскольку точка $K$ также принадлежит плоскости сечения $\Pi$ и плоскости грани $SCD$ (точка $K$ лежит на ребре $SD$), то прямая $P_1K$ является линией пересечения плоскости сечения $\Pi$ с плоскостью грани $SCD$. Прямая $P_1K$ пересечет ребро $SC$ в точке $M$. Соединим точку $B$ с точкой $M$ отрезком $BM$ (сторона сечения в грани $SBC$) и точку $M$ с точкой $K$ отрезком $MK$ (сторона сечения в грани $SCD$).

4. Нахождение точки $N$ на ребре $SF$ и сторон $LN$, $NA$: Аналогично предыдущему шагу, для нахождения точки пересечения плоскости сечения с ребром $SF$, продолжим прямую $AB$ и прямую $EF$. Эти прямые не параллельны и пересекутся в некоторой точке $P_2$. Точка $P_2$ лежит в плоскости основания. Так как $P_2$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости сечения $\Pi$. Точка $P_2$ также лежит на прямой $EF$, которая находится в плоскости боковой грани $SEF$. Поскольку точка $L$ (найденная в пункте 2) также принадлежит плоскости сечения $\Pi$ и плоскости грани $SEF$ (точка $L$ лежит на ребре $SE$), то прямая $P_2L$ является линией пересечения плоскости сечения $\Pi$ с плоскостью грани $SEF$. Прямая $P_2L$ пересечет ребро $SF$ в точке $N$. Соединим точку $L$ с точкой $N$ отрезком $LN$ (сторона сечения в грани $SEF$) и точку $N$ с точкой $A$ отрезком $NA$ (сторона сечения в грани $SFA$).

Таким образом, искомое сечение представляет собой шестиугольник $ABMKLN$.

Ответ: Сечение $ABMKLN$ построено в соответствии с описанными шагами.

дату и ребра 32 (рис. 18.10).

18.12. Может ли сечением куба плоскостью быть:

а) правильный пятиугольник;

б) правильный шестиугольник;

в) семиугольник?

а) правильный пятиугольник?

Решение: Сечением куба плоскостью может быть многоугольник, число сторон которого равно числу граней, которые пересекает плоскость. Куб имеет 6 граней. Таким образом, максимальное количество сторон у сечения куба - 6. Хотя сечением куба может быть пятиугольник (неправильный), это не может быть правильный пятиугольник. Для того чтобы сечение было правильным многоугольником, все его стороны и все его углы должны быть равны. Углы правильного пятиугольника равны $108^\circ$. Вершины сечения лежат на ребрах куба, а стороны сечения - на гранях. Из-за ортогональной структуры куба, углы, формирующиеся при пересечении плоскости с гранями, как правило, не позволяют получить углы правильного пятиугольника, а также равные стороны при сохранении симметрии, необходимой для правильного многоугольника.

Ответ: Нет.

б) правильный шестиугольник?

Решение: Да, сечением куба плоскостью может быть правильный шестиугольник. Это достигается, если плоскость проходит через центр куба и пересекает середины шести ребер, не имеющих общих вершин. Например, если взять любую вершину куба, а затем взять вершины, находящиеся от нее на расстоянии, равном половине длины диагонали грани, и соединить их середины ребер, можно получить правильный шестиугольник. Все его стороны будут равны, а углы составят $120^\circ$, что соответствует внутренним углам правильного шестиугольника. Такое сечение образуется, например, плоскостью, перпендикулярной одной из главных диагоналей куба и проходящей через ее середину.

Ответ: Да.

в) семиугольник?

Решение: Куб имеет 6 граней. Сечение куба плоскостью является многоугольником, каждая сторона которого образуется пересечением секущей плоскости с одной из граней куба. Следовательно, число сторон многоугольника-сечения не может превышать количество граней куба, которые могут быть пересечены, то есть 6. Семиугольник имеет 7 сторон. Поскольку куб имеет только 6 граней, невозможно получить сечение с 7 сторонами.

Ответ: Нет.

18.13. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершины:

а) $B, C, D_1$;

б) $B, D, C_1$;

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод всех данных в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (безразмерная величина, или 1 единица длины).

Найти:

а) Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершины $B, C, D_1$.

б) Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершины $B, D, C_1$.

Решение:

а) B, C, D₁;

Сечение, проходящее через три вершины куба, является треугольником. Определим длины сторон этого треугольника. Длина ребра единичного куба $a = 1$.

Отрезок $BC$ является ребром куба. Его длина $BC = a = 1$.

Отрезок $CD_1$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $CD_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Отрезок $BD_1$ является пространственной диагональю куба. Длина пространственной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Следовательно, $BD_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, сечением является треугольник $BCD_1$ со сторонами $BC=1$, $CD_1=\sqrt{2}$, $BD_1=\sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $BCD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$BC^2 + CD_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Так как $BC^2 + CD_1^2 = BD_1^2$, то треугольник $BCD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{BCD_1} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) B, D, C₁;

Сечение, проходящее через три вершины куба, является треугольником. Определим длины сторон этого треугольника. Длина ребра единичного куба $a = 1$.

Отрезок $BD$ является диагональю грани $ABCD$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Отрезок $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $BC_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Отрезок $DC_1$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $DC_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, сечением является треугольник $BDC_1$ со сторонами $BD=\sqrt{2}$, $BC_1=\sqrt{2}$, $DC_1=\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $BDC_1$ равны, этот треугольник является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

В данном случае сторона $s = \sqrt{2}$.

Площадь сечения $S_{BDC_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.