Страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.4) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору $\vec{AB}$.

Решение

Векторы называются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра имеют одинаковую длину. Следовательно, любой вектор, образованный ребром куба, будет иметь ту же длину, что и вектор $\vec{AB}$.

Теперь необходимо найти те векторы, которые имеют такое же направление, как и вектор $\vec{AB}$. Вектор $\vec{AB}$ направлен вдоль ребра куба от вершины $A$ к вершине $B$.

Параллельными и сонаправленными с вектором $\vec{AB}$ являются следующие векторы:

Вектор $\vec{DC}$: находится на той же грани $ABCD$, параллелен $\vec{AB}$ и направлен от $D$ к $C$, что соответствует направлению $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{A_1B_1}$: находится на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, которая параллельна нижней грани $ABCD$. Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен $\vec{AB}$ и направлен от $A_1$ к $B_1$, что соответствует направлению $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{D_1C_1}$: также находится на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Вектор $\vec{D_1C_1}$ параллелен $\vec{DC}$ и, следовательно, параллелен $\vec{AB}$. Он направлен от $D_1$ к $C_1$, что соответствует направлению $\vec{AB}$.

Другие векторы, образованные рёбрами куба (например, $\vec{AD}$, $\vec{BC}$, $\vec{AA_1}$, $\vec{B_1C_1}$, и т.д.), либо не параллельны $\vec{AB}$, либо имеют противоположное направление (например, $\vec{BA}$).

Ответ: $\vec{DC}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{D_1C_1}$.

20.2. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 20.8) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Дано:

Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ (см. рис. 20.8).

Найти:

Векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Решение:

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В призме все боковые рёбра параллельны друг другу и имеют одинаковую длину.

Вектор $\vec{AA_1}$ направлен от вершины $A$ нижнего основания к соответствующей вершине $A_1$ верхнего основания. Нам необходимо найти все векторы, образованные вершинами призмы, которые имеют ту же длину и то же направление, что и $\vec{AA_1}$.

• Вектор $\vec{BB_1}$: этот вектор начинается в вершине $B$ и заканчивается в вершине $B_1$. Поскольку $BB_1$ является боковым ребром призмы, он параллелен ребру $AA_1$ и имеет ту же длину. Направление вектора $\vec{BB_1}$ (от $B$ к $B_1$) совпадает с направлением вектора $\vec{AA_1}$ (от $A$ к $A_1$). Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$.

• Вектор $\vec{CC_1}$: этот вектор начинается в вершине $C$ и заканчивается в вершине $C_1$. Аналогично, $CC_1$ является боковым ребром призмы, параллельным $AA_1$ и имеющим ту же длину. Направление вектора $\vec{CC_1}$ (от $C$ к $C_1$) совпадает с направлением вектора $\vec{AA_1}$. Следовательно, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

• Векторы $\vec{A_1A}$, $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$: эти векторы имеют ту же длину, что и $\vec{AA_1}$, но противоположное направление (от верхнего основания к нижнему). Поэтому они не равны вектору $\vec{AA_1}$.

• Векторы, лежащие в плоскостях оснований (например, $\vec{AB}$, $\vec{B_1C_1}$) или являющиеся диагоналями граней (например, $\vec{AC_1}$, $\vec{BC}$) или тела призмы, не имеют того же направления, что и боковые рёбра, и обычно имеют другую длину. Поэтому они не равны вектору $\vec{AA_1}$.

Таким образом, единственными векторами с началом и концом в вершинах призмы, которые равны вектору $\vec{AA_1}$, являются другие боковые рёбра, направленные аналогично от нижнего основания к верхнему.

Ответ:

Векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

20.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 20.9) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору:

а) $\vec{AB}$;

б) $\vec{AC}$;

в) $\vec{AD}$;

г) $\vec{AB_1}$;

д) $\vec{AC_1}$.

Рис. 20.9

Решение

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. В правильной шестиугольной призме основания являются правильными шестиугольниками, а боковые грани — прямоугольниками. Боковые ребра призмы параллельны и равны по длине.

Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ (предполагаем, что вершины перечислены по часовой стрелке, как на рисунке):

• Стороны: $AB, BC, CD, DE, EF, FA$. Противоположные стороны параллельны и равны по длине. Например, $AB \parallel ED$.
• Короткие диагонали (соединяющие вершины через одну): $AC, BD, CE, DF, EA, FB$. Они все равны по длине. Например, $AC \parallel FD \parallel EB$.
• Длинные диагонали (соединяющие противоположные вершины через центр): $AD, BE, CF$. Они все равны по длине и проходят через центр шестиугольника. Поэтому никакие две из них не параллельны друг другу.

а) $\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ представляет собой вектор, идущий вдоль одной из сторон нижнего основания.

• В верхнем основании: Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен вектору $\vec{AB}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.
• В нижнем основании: Вектор $\vec{ED}$ (из $E$ в $D$) параллелен вектору $\vec{AB}$ и имеет ту же длину и направление (при условии часовой нумерации вершин). Поэтому $\vec{ED} = \vec{AB}$.
• В верхнем основании: Вектор $\vec{E_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{ED}$ и имеет ту же длину, следовательно, $\vec{E_1D_1} = \vec{ED} = \vec{AB}$.

Ответ: $\vec{A_1B_1}$, $\vec{ED}$, $\vec{E_1D_1}$

б) $\vec{AC}$

Вектор $\vec{AC}$ представляет собой вектор вдоль короткой диагонали нижнего основания.

• В верхнем основании: Вектор $\vec{A_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{AC}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.
• В нижнем основании: Векторы $\vec{FD}$ (из $F$ в $D$) и $\vec{EB}$ (из $E$ в $B$) являются короткими диагоналями, параллельными $\vec{AC}$ и имеющими то же направление и длину. Поэтому $\vec{FD} = \vec{AC}$ и $\vec{EB} = \vec{AC}$.
• В верхнем основании: Аналогично, векторы $\vec{F_1D_1}$ и $\vec{E_1B_1}$ равны $\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{A_1C_1}$, $\vec{FD}$, $\vec{EB}$, $\vec{F_1D_1}$, $\vec{E_1B_1}$

в) $\vec{AD}$

Вектор $\vec{AD}$ представляет собой вектор вдоль длинной диагонали нижнего основания.

• В верхнем основании: Вектор $\vec{A_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{AD}$ и имеет ту же длину, поэтому $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$.
• В нижнем основании: Другие длинные диагонали ($\vec{BE}$ и $\vec{CF}$) не параллельны $\vec{AD}$, так как они пересекаются в центре шестиугольника. Следовательно, нет других векторов, равных $\vec{AD}$, среди векторов, соединяющих вершины нижнего основания.

Ответ: $\vec{A_1D_1}$

г) $\vec{AB_1}$

Вектор $\vec{AB_1}$ может быть представлен как сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$ (по правилу треугольника: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$).

• Мы ищем векторы $\vec{XY_1}$ такие, что $\vec{XY_1} = \vec{AB_1}$. Это означает, что $\vec{XY}$ должно быть равно $\vec{AB}$, а $\vec{YY_1}$ должно быть равно $\vec{BB_1}$.
• Из части (а) мы знаем, что $\vec{ED}$ равен $\vec{AB}$.
• Все боковые ребра призмы равны и параллельны, то есть $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{EE_1} = \vec{FF_1}$.
• Следовательно, вектор $\vec{ED_1}$ может быть записан как $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1}$. Так как $\vec{ED} = \vec{AB}$ и $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$, то $\vec{ED_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{ED_1}$

д) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ может быть представлен как сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ (по правилу треугольника: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$).

• Мы ищем векторы $\vec{XY_1}$ такие, что $\vec{XY_1} = \vec{AC_1}$. Это означает, что $\vec{XY}$ должно быть равно $\vec{AC}$, а $\vec{YY_1}$ должно быть равно $\vec{CC_1}$.
• Из части (б) мы знаем, что $\vec{FD}$ и $\vec{EB}$ равны $\vec{AC}$.
• Все боковые ребра призмы равны и параллельны.
• Следовательно, векторы $\vec{FD_1}$ и $\vec{EB_1}$ будут равны $\vec{AC_1}$:
  • $\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$. Так как $\vec{FD} = \vec{AC}$ и $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$, то $\vec{FD_1} = \vec{AC_1}$.
  • $\vec{EB_1} = \vec{EB} + \vec{BB_1}$. Так как $\vec{EB} = \vec{AC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$, то $\vec{EB_1} = \vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{FD_1}$, $\vec{EB_1}$

20.4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\overline{AB}$;

б) $\overline{AB_1}$;

в) $\overline{AC_1}$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

а) Длину вектора $\overline{AB}$

б) Длину вектора $\overline{AB_1}$

в) Длину вектора $\overline{AC_1}$

Решение

а) $\overline{AB}$

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ длина каждого ребра равна $1$. Вектор $\vec{AB}$ является ребром куба.

Следовательно, его длина равна $1$.

Ответ: $1$

б) $\overline{AB_1}$

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABB_1A_1$ куба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$. Его катеты — это рёбра куба $AB$ и $BB_1$.

По условию, длина ребра куба $a = 1$. Значит, $AB = 1$ и $BB_1 = 1$.

По теореме Пифагора длина гипотенузы $AB_1$ равна:

$\left| \vec{AB_1} \right| = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

в) $\overline{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю куба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Его катеты — это диагональ грани $AC$ и ребро куба $CC_1$.

Длину диагонали грани $AC$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $ABC$, лежащий в основании куба. Катеты этого треугольника — рёбра куба $AB$ и $BC$, длины которых равны $1$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Ребро куба $CC_1$ имеет длину $1$.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:

$\left| \vec{AC_1} \right| = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

20.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.9). Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB}$

б) $\vec{AC}$

в) $\vec{AD}$

г) $\vec{AB_1}$

д) $\vec{AC_1}$

е) $\vec{AD_1}$

Рис. 20.9

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ

Данные уже представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Длины векторов: $|\vec{AB}|$, $|\vec{AC}|$, $|\vec{AD}|$, $|\vec{AB_1}|$, $|\vec{AC_1}|$, $|\vec{AD_1}|$.

Решение

а) $\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ соединяет две соседние вершины основания правильной шестиугольной призмы. Длина этого вектора равна длине ребра основания.

$|\vec{AB}| = AB = 1$

Ответ: $1$

б) $\vec{AC}$

Вектор $\vec{AC}$ является малой диагональю правильного шестиугольного основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.

В данном случае $a=1$, поэтому $|\vec{AC}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Альтернативный метод: рассмотрим треугольник $ABC$. $AB=BC=1$. Угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$

$AC^2 = 2 + 1 = 3$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

в) $\vec{AD}$

Вектор $\vec{AD}$ является большой диагональю правильного шестиугольного основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ длина большой диагонали равна $2a$.

В данном случае $a=1$, поэтому $|\vec{AD}| = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$

г) $\vec{AB_1}$

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю прямоугольника $ABB_1A_1$. Стороны этого прямоугольника: $AB = 1$ (ребро основания) и $BB_1 = 1$ (высота призмы).

Треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

По теореме Пифагора:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$

$AB_1^2 = 1^2 + 1^2$

$AB_1^2 = 1 + 1 = 2$

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

д) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Прямой угол находится при вершине $C$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Длина отрезка $AC$ была найдена в пункте (б): $AC = \sqrt{3}$.

Длина отрезка $CC_1$ равна высоте призмы: $CC_1 = 1$.

По теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 3 + 1 = 4$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{4} = 2$

Ответ: $2$

е) $\vec{AD_1}$

Вектор $\vec{AD_1}$ также является пространственной диагональю призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Прямой угол находится при вершине $D$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Длина отрезка $AD$ была найдена в пункте (в): $AD = 2$.

Длина отрезка $DD_1$ равна высоте призмы: $DD_1 = 1$.

По теореме Пифагора:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2$

$AD_1^2 = 4 + 1 = 5$

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

20.6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору:

а) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

б) $\vec{AB} + \vec{AD}$;

в) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$;

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

а) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{CC_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

В кубе вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$, так как они параллельны, имеют одинаковое направление и длину ребра куба. Таким образом, мы можем заменить $\vec{CC_1}$ на $\vec{AA_1}$:

$\vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины $A$. Они являются смежными сторонами прямоугольника $ABA_1B_1$. По правилу параллелограмма (или правилу сложения векторов, исходящих из одной точки), их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого параллелограмма, исходящей из вершины $A$:

$\vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{AB_1}$

Ответ: $\vec{AB_1}$

б) $\vec{AB} + \vec{AD}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{AD}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ исходят из одной вершины $A$ и лежат в плоскости основания $ABCD$. Грань $ABCD$ является квадратом, а значит, и параллелограммом. По правилу параллелограмма сложения векторов, если два вектора исходят из одной точки и являются смежными сторонами параллелограмма, то их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого параллелограмма, исходящей из той же точки:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

в) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{AD_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Его можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DD_1}$ (по правилу треугольника):

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Подставим это в исходное выражение:

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{DD_1})$

Так как $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$ (векторы, соответствующие ребрам, перпендикулярным основанию), выражение становится:

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Из пункта б) мы знаем, что $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$. Подставим это:

$\vec{AC} + \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины $A$. Они являются смежными сторонами прямоугольника $ACC_1A_1$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого прямоугольника, исходящей из вершины $A$:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{CD_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$ (они параллельны, имеют одинаковое направление и длину ребра куба).

Заменим $\vec{AB}$ на $\vec{DC}$ в выражении:

$\vec{AB} + \vec{CD_1} = \vec{DC} + \vec{CD_1}$

По правилу треугольника (сложение векторов "голова к хвосту"), если конец первого вектора является началом второго вектора, то их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго:

$\vec{DC} + \vec{CD_1} = \vec{DD_1}$

Ответ: $\vec{DD_1}$

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторное выражение $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Найти: Вектор с началом и концом в вершинах куба, равный данному выражению.

Решение:

Это сумма трех векторов, исходящих из одной вершины $A$ и соответствующих рёбрам куба.

Сначала сложим первые два вектора: $\vec{AB} + \vec{AD}$. Из пункта б) мы знаем, что:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины $A$. Они являются смежными сторонами прямоугольника $ACC_1A_1$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору, являющемуся диагональю этого прямоугольника, исходящей из вершины $A$:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$

Также это является результатом правила сложения векторов для трехмерного параллелепипеда: сумма векторов, исходящих из одной вершины по рёбрам, равна вектору, идущему из этой вершины в противоположную ей вершину (противоположную по диагонали тела).

Ответ: $\vec{AC_1}$

20.7. Сколько различных векторов задают ребра: а) куба; б) треугольной призмы; в) правильной четырехугольной пирамиды (рис. 20.10)?

Рис. 20.10

а) куба

Куб имеет 12 ребер. Все ребра куба имеют одинаковую длину. Ребра куба можно разделить на 3 группы по их взаимно перпендикулярным направлениям. Для каждого из этих трех направлений существует два противоположных вектора. Например, если ребра параллельны осям X, Y, Z, то будут векторы, направленные вдоль X в положительном направлении и вдоль X в отрицательном направлении. Все эти 6 векторов имеют одинаковую длину, но различаются по направлению. Любой вектор, заданный ребром куба, будет равен одному из этих 6 векторов. Таким образом, имеется 6 различных векторов, задаваемых ребрами куба.

Ответ: 6

б) треугольной призмы

Треугольная призма имеет 9 ребер: 3 ребра в каждом из двух оснований (всего 6) и 3 боковых ребра, соединяющих основания.

Предположим, что призма является прямой, и ее основания являются конгруэнтными треугольниками.

1. Ребра оснований: Ребра двух оснований параллельны и равны между собой. Поскольку основание - это треугольник, его три стороны имеют три различных направления. Для каждого из этих трех направлений существует два противоположных вектора. Например, если стороны треугольника $ABC$ имеют направления $AB$, $BC$, $CA$, то соответствующие векторы будут $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$, $\vec{CA}$ и $\vec{AC}$. Поскольку направления $AB$, $BC$ и $CA$ не параллельны, все $3 \times 2 = 6$ полученных векторов различны. Все они имеют одинаковую длину (если основание - равносторонний треугольник) или могут иметь разные длины, но в любом случае их направления будут уникальны.

2. Боковые ребра: Боковые ребра прямой призмы параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. Таким образом, они задают два противоположных вектора (например, направленные "вверх" и "вниз"). Эти 2 вектора имеют одинаковую длину, но противоположное направление.

Поскольку длина ребер оснований обычно отличается от длины боковых ребер (если только призма не является особой формой), и направления ребер оснований не совпадают с направлением боковых ребер (они перпендикулярны в прямой призме), все 6 векторов от оснований и 2 вектора от боковых ребер являются различными. Таким образом, всего $6 + 2 = 8$ различных векторов.

Ответ: 8

в) правильной четырехугольной пирамиды (рис. 20.10)

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и 4 боковых ребра, идущих от вершин основания к вершине пирамиды.

Всего пирамида имеет 8 ребер: 4 ребра в основании и 4 боковых ребра.

1. Ребра основания: Основание является квадратом. Из 4 ребер основания можно выделить два различных направления. Для каждого направления существует два противоположных вектора. Например, для ребра $AB$ существуют векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$. Вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. Аналогично, для ребра $BC$ существуют векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$, причем $\vec{BC}$ равен $\vec{AD}$. Поскольку эти два направления (например, по $AB$ и по $BC$) перпендикулярны, все 4 вектора ($\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$) являются различными. Все эти векторы имеют одинаковую длину (сторона квадрата).

2. Боковые ребра: У правильной четырехугольной пирамиды все 4 боковых ребра имеют одинаковую длину. Однако направления этих ребер (например, $\vec{SA}$, $\vec{SB}$, $\vec{SC}$, $\vec{SD}$ на рис. 20.10) различны. Также существуют векторы, направленные в противоположную сторону (например, $\vec{AS}$, $\vec{BS}$, $\vec{CS}$, $\vec{DS}$). Все эти 8 векторов имеют одинаковую длину, но каждое из них имеет свое уникальное направление. Таким образом, боковые ребра задают $4 \times 2 = 8$ различных векторов.

Поскольку длина ребер основания обычно отличается от длины боковых ребер, и направления ребер основания не совпадают с направлениями боковых ребер, все 4 вектора от основания и 8 векторов от боковых ребер являются различными. Таким образом, всего $4 + 8 = 12$ различных векторов.

Ответ: 12

20.8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору:

а) $\overline{AB} + \overline{FE}$;

б) $\overline{AB} + \overline{DC}$;

в) $\overline{AC} + \overline{DD_1}$;

г) $\overline{AB} + \overline{CE_1}$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

В правильной шестиугольной призме основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками. Боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны по длине: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{EE_1} = \vec{FF_1}$.

Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ со центром $O$ справедливы следующие векторные равенства:

• Векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны по модулю и противоположны по направлению, например, $\vec{AB} = -\vec{DE}$.

• Векторы сторон шестиугольника могут быть выражены через векторы из центра: $\vec{AB} = \vec{OC}$, $\vec{BC} = \vec{OD}$, $\vec{CD} = \vec{OE}$, $\vec{DE} = \vec{OF}$, $\vec{EF} = \vec{OA}$, $\vec{FA} = \vec{OB}$.

• Векторы, соединяющие несмежные вершины: $\vec{FE} = \vec{BC}$, $\vec{CD} = \vec{AF}$ (неверно), $\vec{AB} = \vec{OC}$. Для $\vec{FE}$ и $\vec{BC}$: они параллельны и равны по длине и направлению, следовательно $\vec{FE} = \vec{BC}$.

Найти:

Векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные следующим суммам векторов:

• a) $\overline{AB} + \overline{FE}$

• б) $\overline{AB} + \overline{DC}$

• в) $\overline{AC} + \overline{DD_1}$

• г) $\overline{AB} + \overline{CE_1}$

Решение

a) $\overline{AB} + \overline{FE}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $FE$ и $BC$ параллельны, равны по длине и имеют одинаковое направление. Следовательно, вектор $\vec{FE}$ равен вектору $\vec{BC}$: $\vec{FE} = \vec{BC}$.

Подставим это в сумму:

$\vec{AB} + \vec{FE} = \vec{AB} + \vec{BC}$

По правилу треугольника сложения векторов, если конец первого вектора является началом второго, то их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

б) $\overline{AB} + \overline{DC}$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$, пусть $O$ - центр. Мы знаем, что вектор стороны $\vec{AB}$ равен вектору, идущему от центра к вершине $C$: $\vec{AB} = \vec{OC}$.

Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору, идущему от центра к вершине $E$: $\vec{CD} = \vec{OE}$.

Таким образом, $\vec{DC} = -\vec{CD} = -\vec{OE} = \vec{EO}$.

Подставим эти равенства в исходную сумму:

$\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{OC} + \vec{EO}$

Применяя правило треугольника (переставляя слагаемые):

$\vec{EO} + \vec{OC} = \vec{EC}$

Ответ: $\vec{EC}$

в) $\overline{AC} + \overline{DD_1}$

В правильной призме все боковые ребра параллельны и равны по длине. Следовательно, вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{CC_1}$: $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$.

Подставим это в сумму:

$\vec{AC} + \vec{DD_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

По правилу треугольника сложения векторов:

$\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$

г) $\overline{AB} + \overline{CE_1}$

Разложим вектор $\vec{CE_1}$ на составляющие, идущие по основанию и по боковому ребру:

$\vec{CE_1} = \vec{CE} + \vec{EE_1}$

Тогда исходная сумма становится:

$\vec{AB} + \vec{CE_1} = \vec{AB} + \vec{CE} + \vec{EE_1}$

Рассмотрим сумму $\vec{AB} + \vec{CE}$ в нижнем основании. Пусть $O$ - центр шестиугольника $ABCDEF$.

• Вектор $\vec{AB}$ равен $\vec{OC}$ (вектор от центра к вершине $C$).

• Вектор $\vec{CE}$ можно представить как $\vec{CO} + \vec{OE}$.

• Вектор $\vec{CO}$ противоположен вектору $\vec{OC}$, то есть $\vec{CO} = -\vec{OC}$. Так как $\vec{OC} = \vec{AB}$, то $\vec{CO} = -\vec{AB}$.

• Вектор $\vec{OE}$ равен вектору $\vec{CD}$ (вектор от центра к вершине $D$).

Тогда $\vec{CE} = -\vec{AB} + \vec{CD}$.

Подставим это в сумму $\vec{AB} + \vec{CE}$:

$\vec{AB} + \vec{CE} = \vec{AB} + (-\vec{AB} + \vec{CD}) = \vec{AB} - \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{CD}$

Теперь подставим полученный результат обратно в полное выражение:

$\vec{AB} + \vec{CE_1} = (\vec{AB} + \vec{CE}) + \vec{EE_1} = \vec{CD} + \vec{EE_1}$

Поскольку $\vec{EE_1}$ является вектором бокового ребра, он равен вектору $\vec{DD_1}$: $\vec{EE_1} = \vec{DD_1}$.

Тогда сумма принимает вид:

$\vec{CD} + \vec{DD_1}$

По правилу треугольника сложения векторов:

$\vec{CD} + \vec{DD_1} = \vec{CD_1}$

Ответ: $\vec{CD_1}$