Страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.20. Катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью 5 м/с. Ширина реки равна 720 м, скорость течения 1 м/с, вследствие чего через каждые 5 м пройденного пути катер относит в сторону перпендикулярно курсу на 1 м. На сколько метров он уйдет в сторону, пока достигнет противоположного берега?

Дано:

Скорость катера относительно воды, перпендикулярно берегу: $v_k = 5 \text{ м/с}$

Ширина реки: $L = 720 \text{ м}$

Скорость течения: $v_t = 1 \text{ м/с}$

Перевод в СИ:

Все величины уже приведены в единицах СИ.

Найти:

Расстояние, на которое катер уйдет в сторону (смещение вдоль берега): $x$

Решение:

Движение катера в реке можно рассматривать как наложение двух независимых движений: движения перпендикулярно берегу (пересечение реки) и движения вдоль берега (снос течением).

Время, за которое катер пересечет реку, определяется его собственной скоростью относительно воды, направленной перпендикулярно берегу, и шириной реки. Скорость течения не влияет на время пересечения реки, если катер направлен точно перпендикулярно берегу.

Найдем время $t$, необходимое катеру для пересечения реки:

$t = \frac{L}{v_k}$

Подставим численные значения:

$t = \frac{720 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 144 \text{ с}$

За это время $t$, пока катер пересекает реку, он будет сноситься течением вдоль берега. Расстояние $x$, на которое катер будет отнесен течением в сторону, равно произведению скорости течения на это время:

$x = v_t \times t$

Подставим значения:

$x = 1 \text{ м/с} \times 144 \text{ с} = 144 \text{ м}$

Указание в условии "через каждые 5 м пройденного пути катер относит в сторону перпендикулярно курсу на 1 м" согласуется с данными скоростями. Это означает, что для каждых 5 м пути поперек реки катер сносится на 1 м вдоль берега. Общая ширина реки составляет 720 м. Количество "отрезков" по 5 м составляет $720 \text{ м} / 5 \text{ м} = 144$. Соответственно, общее смещение в сторону будет $144 \times 1 \text{ м} = 144 \text{ м}$. Этот подход дает тот же результат, подтверждая правильность вычислений.

Ответ:

Катер уйдет в сторону на 144 метра.

20.21. Для куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, выразите вектор $\overline{AC_1}$ через векторы $\overline{AB}$, $\overline{AD}$, $\overline{AA_1}$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти

Выразить вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

Решение

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AC_1}$ через заданные базисные векторы, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника или параллелепипеда).

Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму двух векторов: вектора, лежащего в основании, и вектора, идущего вдоль бокового ребра: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Теперь рассмотрим вектор $\vec{AC}$. Он является диагональю основания $ABCD$. Так как $ABCD$ - квадрат (или параллелограмм в общем случае, так как это грани куба), вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ по правилу параллелограмма: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

В кубе противоположные рёбра параллельны и равны по длине, что означает равенство соответствующих векторов. Следовательно, вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$: $\vec{BC} = \vec{AD}$

Подставив это в выражение для $\vec{AC}$, получаем: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Далее, рассмотрим вектор $\vec{CC_1}$. Это ребро куба, перпендикулярное основанию. В кубе все боковые рёбра параллельны и равны по длине. Поэтому вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$: $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ в первое уравнение для $\vec{AC_1}$: $\vec{AC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1}$

Окончательно, получаем выражение вектора $\vec{AC_1}$ через заданные векторы: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Ответ:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Докажите, что три ненулевых вектора в пространстве компланарны, если при откладывании их от одной точки они располагаются в одной плоскости.

Дано: Три ненулевых вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ в пространстве. При откладывании их от одной точки они располагаются в одной плоскости.

Найти: Доказать, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ компланарны.

Решение:

По определению, три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.
Условие задачи явно указывает, что при откладывании всех трех ненулевых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ от одной точки, они располагаются в одной плоскости.
Пусть эта общая плоскость будет обозначена как $\Pi$. Поскольку все три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ лежат в плоскости $\Pi$, это напрямую соответствует определению компланарных векторов. Таким образом, если три ненулевых вектора, отложенные от одной точки, располагаются в одной плоскости, то они по определению являются компланарными.

Ответ: Доказано.