Страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 21.4) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AB_1}$.

Рис. 21.4

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AB}$, следующие:

$\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DE}$, $\vec{ED}$, $\vec{CF}$, $\vec{FC}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{B_1A_1}$, $\vec{D_1E_1}$, $\vec{E_1D_1}$, $\vec{C_1F_1}$, $\vec{F_1C_1}$.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DE}$, $\vec{ED}$, $\vec{CF}$, $\vec{FC}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{B_1A_1}$, $\vec{D_1E_1}$, $\vec{E_1D_1}$, $\vec{C_1F_1}$, $\vec{F_1C_1}$.

примы, коллинеарные векторы ли?

21.4. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$?

Дано:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны.

Найти:

Коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$?

Решение:

Два вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Математически это означает, что один вектор может быть выражен через другой с помощью скалярного множителя, то есть $\vec{u} = k \vec{v}$ для некоторого скаляра $k$, или $\vec{v} = k \vec{u}$. Нулевой вектор $\vec{0}$ считается коллинеарным любому вектору.

Рассмотрим два возможных случая для вектора $\vec{b}$:

Случай 1: Вектор $\vec{b}$ не является нулевым вектором ($\vec{b} \ne \vec{0}$).

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, существует скаляр $k_1$ такой, что $\vec{a} = k_1 \vec{b}$.

Поскольку векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, существует скаляр $k_2$ такой, что $\vec{b} = k_2 \vec{c}$.

Подставим выражение для $\vec{b}$ из второго уравнения в первое:

$\vec{a} = k_1 (k_2 \vec{c})$

$\vec{a} = (k_1 k_2) \vec{c}$

Обозначим произведение скаляров $k_1 k_2$ как $K$. Тогда мы получаем $\vec{a} = K \vec{c}$. Это равенство показывает, что вектор $\vec{a}$ является произведением скаляра $K$ на вектор $\vec{c}$. По определению, это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Этот случай включает ситуации, когда $\vec{a}$ или $\vec{c}$ являются нулевыми векторами, если $\vec{b} \ne \vec{0}$. Например, если $\vec{a} = \vec{0}$, то $k_1$ должен быть равен $0$, и тогда $K=0$, что дает $\vec{0} = 0 \cdot \vec{c}$, и $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{c}$. Аналогично, если $\vec{c} = \vec{0}$.

Случай 2: Вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{b} = \vec{0}$).

Если $\vec{b} = \vec{0}$, то условие "векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны" означает, что $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{0}$. Это всегда верно для любого вектора $\vec{a}$ (например, $\vec{0} = 0 \cdot \vec{a}$).

Аналогично, условие "векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны" означает, что $\vec{0}$ коллинеарен $\vec{c}$. Это также всегда верно для любого вектора $\vec{c}$ (например, $\vec{0} = 0 \cdot \vec{c}$).

Рассмотрим конкретный контрпример, чтобы определить, будут ли $\vec{a}$ и $\vec{c}$ обязательно коллинеарны в этом случае:

Пусть $\vec{a} = (1, 0)$, $\vec{b} = (0, 0)$, $\vec{c} = (0, 1)$.

1. Векторы $\vec{a} = (1, 0)$ и $\vec{b} = (0, 0)$ коллинеарны, так как $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a}$.

2. Векторы $\vec{b} = (0, 0)$ и $\vec{c} = (0, 1)$ коллинеарны, так как $\vec{b} = 0 \cdot \vec{c}$.

3. Проверим, коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

Попытаемся представить $\vec{a} = k \vec{c}$: $(1, 0) = k(0, 1)$. Это дает систему уравнений: $1 = k \cdot 0$ и $0 = k \cdot 1$. Первое уравнение $1=0$ не имеет решения, что означает, что такого скаляра $k$ не существует.

Попытаемся представить $\vec{c} = k \vec{a}$: $(0, 1) = k(1, 0)$. Это дает систему уравнений: $0 = k \cdot 1$ и $1 = k \cdot 0$. Второе уравнение $1=0$ не имеет решения.

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ в данном контрпримере не коллинеарны.

Вывод:

Из рассмотренных случаев следует, что если промежуточный вектор $\vec{b}$ является ненулевым, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ обязательно будут коллинеарны. Однако, если вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не обязательно будут коллинеарны, как показано в контрпримере.

Ответ: Не обязательно.

21.5. Коллинеарны ли векторы $\overline{AD_1}$ и $\overline{BC_1}$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 21.4)?

₁B₁C₁D₁E₁F₁Рис. 21.4

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Найти:

Являются ли векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ коллинеарными?

Решение:

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что один вектор может быть выражен через другой с помощью скалярного множителя, то есть $\vec{u} = k\vec{v}$, где $k$ — некоторое скалярное число.

Рассмотрим векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ в данной правильной шестиугольной призме.

Представим каждый вектор в виде суммы двух векторов: вектора, лежащего в плоскости основания, и вектора, соответствующего высоте призмы. Обозначим вектор, соответствующий высоте призмы, как $\vec{h} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \dots$.

Тогда:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

Поскольку $\vec{DD_1} = \vec{CC_1} = \vec{h}$, можем записать:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{h}$

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{h}$

Для того чтобы векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ были коллинеарными, должно существовать такое скалярное число $k$, что $\vec{AD_1} = k \vec{BC_1}$.

Подставим разложения векторов:

$ \vec{AD} + \vec{h} = k (\vec{BC} + \vec{h}) $

$ \vec{AD} + \vec{h} = k \vec{BC} + k \vec{h} $

Перенесем слагаемые таким образом, чтобы векторы, лежащие в плоскости основания, были с одной стороны, а векторы высоты — с другой:

$ \vec{AD} - k \vec{BC} = k \vec{h} - \vec{h} $

$ \vec{AD} - k \vec{BC} = (k-1) \vec{h} $

Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ лежат в плоскости основания правильной шестиугольной призмы. Вектор $\vec{h}$ перпендикулярен этой плоскости (поскольку это вектор высоты призмы).

Левая часть уравнения, $\vec{AD} - k \vec{BC}$, является линейной комбинацией векторов, лежащих в плоскости основания, и, следовательно, сама лежит в плоскости основания.

Правая часть уравнения, $(k-1) \vec{h}$, является вектором, перпендикулярным плоскости основания (или нулевым вектором, если $k=1$).

Для того чтобы вектор, лежащий в плоскости, был равен вектору, перпендикулярному этой плоскости, оба вектора должны быть нулевыми. Поскольку призма имеет высоту, $\vec{h} \neq \vec{0}$.

Следовательно, для выполнения равенства $ \vec{AD} - k \vec{BC} = (k-1) \vec{h} $ необходимо, чтобы $(k-1) \vec{h} = \vec{0}$. Так как $\vec{h} \neq \vec{0}$, то должно быть $k-1 = 0$, что означает $k=1$.

Если $k=1$, то уравнение $ \vec{AD} - k \vec{BC} = (k-1) \vec{h} $ преобразуется в:

$ \vec{AD} - 1 \cdot \vec{BC} = (1-1) \vec{h} $

$ \vec{AD} - \vec{BC} = \vec{0} $

$ \vec{AD} = \vec{BC} $

Теперь рассмотрим векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ в основании (правильном шестиугольнике $ABCDEF$). Вектор $\vec{BC}$ соединяет две соседние вершины шестиугольника и является его стороной. Вектор $\vec{AD}$ соединяет две противоположные вершины шестиугольника и является его главной диагональю, проходящей через центр. В правильном шестиугольнике длина главной диагонали $AD$ в два раза больше длины стороны $BC$ ($AD = 2 \cdot BC$). Более того, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ не параллельны.

Поскольку $\vec{AD} \neq \vec{BC}$ (они имеют разную длину и не параллельны), условие $\vec{AD} = \vec{BC}$ не выполняется.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о коллинеарности векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ является неверным.

Ответ:

Нет, векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ не коллинеарны.

21.6. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 21.5) укажите какие-нибудь тройки:

а) компланарных векторов;

б) некомпланарных векторов.

Рис. 21.5

a) компланарных векторов

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рассмотрим плоскость основания $ABCD$. Векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AC}$ лежат в этой плоскости. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю параллелограмма $ABCD$ и может быть представлен как сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, то есть $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Поскольку вектор $\vec{AC}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, эти три вектора компланарны.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AC}$

б) некомпланарных векторов

Некомпланарными называются векторы, которые не лежат в одной плоскости. В трехмерном пространстве три некомпланарных вектора могут образовывать базис. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, выходящие из одной вершины и лежащие вдоль трех непараллельных ребер, являются некомпланарными. Например, из вершины $A$ выходят ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$. Соответствующие им векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ определяют три независимых направления в пространстве и не могут быть расположены в одной плоскости.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$

21.7. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 21.3) укажите какие-нибудь тройки:

а) компланарных векторов;

б) некомпланарных векторов.

Рис. 21.3

В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (см. рис. 21.3) необходимо указать тройки компланарных и некомпланарных векторов.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.

Векторы называются некомпланарными, если они не лежат в одной плоскости и не параллельны одной и той же плоскости. Это означает, что эти векторы могут образовывать базис в трехмерном пространстве.

Дано: Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Найти:

• а) Тройки компланарных векторов.

• б) Тройки некомпланарных векторов.

Решение:

Для компланарных векторов можно выбрать любые три вектора, которые либо лежат в одной грани призмы, либо являются параллельными друг другу, либо два из них лежат в одной плоскости, а третий параллелен этой плоскости.

Рассмотрим следующие тройки векторов:

• Векторы, лежащие в плоскости основания $ABC$: $(\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA})$. Все три вектора лежат в одной плоскости (плоскости основания призмы).

• Векторы, лежащие в боковой грани $ABB_1A_1$: $(\vec{AA_1}, \vec{AB}, \vec{BB_1})$. Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ параллельны, следовательно, они компланарны. Вектор $\vec{AB}$ также лежит в той же плоскости, что и линии, соединяющие начальные и конечные точки $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$.

• Векторы, представляющие боковые ребра призмы: $(\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1})$. Все боковые ребра призмы параллельны друг другу, следовательно, соответствующие им векторы компланарны (они параллельны одной и той же плоскости, например, любой плоскости, проходящей через два из этих векторов).

• Векторы, где два лежат в одной плоскости, а третий параллелен этой плоскости: $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{A_1B_1})$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен вектору $\vec{AB}$ (так как $ABB_1A_1$ — параллелограмм, и $AB \parallel A_1B_1$), а значит, и плоскости $ABC$. Следовательно, эти три вектора компланарны.

Ответ: Например, $(\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA})$.

Для некомпланарных векторов необходимо выбрать такую тройку, которая не может быть расположена или параллельна одной плоскости. Это часто достигается выбором двух векторов из одной плоскости и третьего вектора, который пересекает эту плоскость и не параллелен ей.

Рассмотрим следующие тройки векторов:

• Векторы, исходящие из одной вершины и направленные вдоль некомпланарных ребер: $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AA_1})$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ лежат в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{AA_1}$ является ребром призмы, перпендикулярным основанию (или наклоненным, но не лежащим в той же плоскости). Он не параллелен плоскости $ABC$ и не лежит в ней. Следовательно, эти три вектора некомпланарны, поскольку они образуют базис пространства.

• Другой пример: $(\vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BB_1})$. Аналогично, $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ лежат в плоскости основания $ABC$, а $\vec{BB_1}$ не параллелен и не лежит в этой плоскости.

Ответ: Например, $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AA_1})$.

21.8. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 21.2) выразите через векторы $\overline{AB}$, $\overline{AD}$ и $\overline{AA_1}$ вектор:

а) $\overline{A_1 C}$;

б) $\overline{BD_1}$.

Рис. 21.2

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Заданы векторы: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

Обозначим для удобства: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Найти:

а) Выразить вектор $\vec{A_1C}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

б) Выразить вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Решение:

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются квадратами, а противоположные рёбра параллельны и равны по длине. Это означает, что соответствующие векторы равны или противоположны.

Из свойств куба следуют следующие векторные равенства:

• Векторы, параллельные $\vec{AB}$: $\vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1} = \vec{a}$

• Векторы, параллельные $\vec{AD}$: $\vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1} = \vec{b}$

• Векторы, параллельные $\vec{AA_1}$: $\vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{c}$

• Векторы, противоположные: $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$, $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$, $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$ и т.д.

а) $\vec{A_1C}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{A_1C}$, мы можем разложить его по пути от точки $A_1$ к точке $C$. Один из возможных путей: $A_1 \to A \to B \to C$.

Тогда по правилу сложения векторов:

$\vec{A_1C} = \vec{A_1A} + \vec{AB} + \vec{BC}$

Теперь подставим выражения для каждого вектора через заданные базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• Вектор $\vec{A_1A}$ является противоположным вектору $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$.

• Вектор $\vec{AB}$ задан как $\vec{a}$.

• Вектор $\vec{BC}$ параллелен и равен вектору $\vec{AD}$ (поскольку $ABCD$ — грань куба, являющаяся квадратом), поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

Подставляем эти выражения в формулу для $\vec{A_1C}$:

$\vec{A_1C} = (-\vec{c}) + \vec{a} + \vec{b}$

Или, переставив слагаемые:

$\vec{A_1C} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Таким образом, $\vec{A_1C}$ выражается как $\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{A_1C} = \vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}$

б) $\vec{BD_1}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{BD_1}$, мы можем разложить его по пути от точки $B$ к точке $D_1$. Один из возможных путей: $B \to A \to D \to D_1$.

Тогда по правилу сложения векторов:

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Теперь подставим выражения для каждого вектора через заданные базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.

• Вектор $\vec{AD}$ задан как $\vec{b}$.

• Вектор $\vec{DD_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AA_1}$ (является ребром куба), поэтому $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Подставляем эти выражения в формулу для $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = (-\vec{a}) + \vec{b} + \vec{c}$

Или, переставив слагаемые:

$\vec{BD_1} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Таким образом, $\vec{BD_1}$ выражается как $-\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{BD_1} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

21.9. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 (рис. 21.4) выразите через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$ вектор:

а) $\vec{AD_1}$;

б) $\vec{AC_1}$.

Рис. 21.4

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Требуется выразить векторы через базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$.

Найти:

Выразить вектор:

а) $\vec{AD_1}$

б) $\vec{AC_1}$

Решение:

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ - центр этого шестиугольника.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны шестиугольника. То есть, $AO = BO = CO = DO = EO = FO = AB = BC = CD = DE = EF = FA = s$, где $s$ - длина стороны шестиугольника.

Четырехугольник $ABOF$ (где $O$ - центр шестиугольника) является ромбом, так как все его стороны ($AB$, $BO$, $OF$, $FA$) равны $s$. В ромбе диагональ, выходящая из вершины, равна сумме векторов, идущих по смежным сторонам из этой же вершины.

Следовательно, вектор $\vec{AO}$ (вектор из вершины $A$ в центр $O$) может быть выражен как сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$:

$\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

Также известно, что в правильном шестиугольнике вектор из вершины в противоположную вершину (например, $\vec{AD}$) равен удвоенному вектору из этой вершины в центр ($\vec{AO}$). То есть, $\vec{AD} = 2\vec{AO}$.

Используя эти свойства, решим задачу для каждого подпункта.

а) $\vec{AD_1}$

Вектор $\vec{AD_1}$ можно представить как сумму вектора $\vec{AD}$ (лежащего в основании) и вектора $\vec{DD_1}$ (являющегося боковым ребром призмы).

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$.

По свойству призмы, все боковые ребра параллельны и равны по длине, поэтому вектор бокового ребра $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

$\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.

Для вектора $\vec{AD}$ в основании мы используем полученное ранее выражение:

$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AB} + \vec{AF})$.

Подставляем эти выражения в формулу для $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = 2(\vec{AB} + \vec{AF}) + \vec{AA_1}$.

Раскрываем скобки:

$\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$.

б) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму вектора $\vec{AC}$ (лежащего в основании) и вектора $\vec{CC_1}$ (являющегося боковым ребром призмы).

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.

По свойству призмы, вектор бокового ребра $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

Теперь выразим вектор $\vec{AC}$ в основании. Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

В правильном шестиугольнике вектор $\vec{BC}$ (от вершины $B$ к $C$) равен вектору $\vec{AO}$ (от вершины $A$ к центру $O$). Это стандартное свойство векторов в правильном шестиугольнике.

Итак, $\vec{BC} = \vec{AO}$.

Мы уже установили, что $\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

Подставляем это выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

Теперь подставляем это выражение для $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + (\vec{AB} + \vec{AF})$.

$\vec{AC} = 2\vec{AB} + \vec{AF}$.

Наконец, подставляем полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = (2\vec{AB} + \vec{AF}) + \vec{AA_1}$.

Раскрываем скобки:

$\vec{AC_1} = 2\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{AC_1} = 2\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{AA_1}$.

21.10. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Будут ли векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны?

Дано: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Найти: Будут ли векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны?

Решение:

По определению, два ненулевых вектора коллинеарны, если один из них можно представить как произведение другого вектора на некоторое число. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то существует скаляр $k$ такой, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Хотя бы один из векторов $\vec{a}$ или $\vec{b}$ является нулевым вектором.

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то поскольку $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, вектор $\vec{b}$ также должен быть нулевым вектором ($\vec{b} = k\vec{0} = \vec{0}$). В этом случае:
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$
Два нулевых вектора коллинеарны, так как нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Если $\vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{a}$ и $\vec{0}$ коллинеарны. В этом случае:
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{0} = \vec{a}$
Векторы $\vec{a}$ и $\vec{a}$ очевидно коллинеарны (коллинеарность означает, что они лежат на параллельных прямых или одной и той же прямой).

Случай 2: Оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ненулевыми.

Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то $\vec{b} = k\vec{a}$ для некоторого скаляра $k \ne 0$.
Рассмотрим векторную сумму $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$:
$\vec{u} = \vec{a} + k\vec{a} = (1+k)\vec{a}$
Рассмотрим векторную разность $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$:
$\vec{v} = \vec{a} - k\vec{a} = (1-k)\vec{a}$

Чтобы векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ были коллинеарны, должен существовать скаляр $m$ такой, что $\vec{u} = m\vec{v}$.
$(1+k)\vec{a} = m(1-k)\vec{a}$

Возможны следующие подслучаи для ненулевых $\vec{a}$:

Подслучай 2.1: $1-k \ne 0$ (т.е., $k \ne 1$).

В этом случае мы можем выразить $m$:
$m = \frac{1+k}{1-k}$
Таким образом, $\vec{u} = \frac{1+k}{1-k}\vec{v}$, что означает, что векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ коллинеарны.

Подслучай 2.2: $1-k = 0$ (т.е., $k = 1$).

Если $k=1$, то $\vec{b} = \vec{a}$.
Тогда:
$\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$
$\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$
Вектор $2\vec{a}$ и нулевой вектор $\vec{0}$ коллинеарны, поскольку нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Подслучай 2.3: $1+k = 0$ (т.е., $k = -1$).

Если $k=-1$, то $\vec{b} = -\vec{a}$.
Тогда:
$\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$
$\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - (-\vec{a}) = 2\vec{a}$
Векторы $\vec{0}$ и $2\vec{a}$ коллинеарны, поскольку нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Во всех рассмотренных случаях векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ оказываются коллинеарными.

Ответ: Да, будут.

21.11. Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Докажите, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Дано:

Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны.

Найти:

Доказать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Решение:

По определению коллинеарности, если два ненулевых вектора коллинеарны, то один из них можно выразить через другой, умноженный на скаляр. Если один из векторов нулевой, то он коллинеарен любому вектору. Если оба вектора нулевые, они также коллинеарны.

Пусть векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует скаляр $k$ такой, что $\vec{c} = k\vec{d}$, то есть:

$(\vec{a} + \vec{b}) = k(\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки:

$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$

Перегруппируем члены, собирая векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} - \vec{a}$

Вынесем общие множители:

$\vec{b}(1 + k) = \vec{a}(k - 1)$

Рассмотрим два случая для значения скаляра $k$:

Случай 1: $k = 1$

Подставим $k = 1$ в уравнение $\vec{b}(1 + k) = \vec{a}(k - 1)$:

$\vec{b}(1 + 1) = \vec{a}(1 - 1)$

$2\vec{b} = \vec{a} \cdot 0$

$2\vec{b} = \vec{0}$

Из этого следует, что $\vec{b} = \vec{0}$. Если вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором, то он коллинеарен любому вектору $\vec{a}$ (включая нулевой вектор). Следовательно, в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Случай 2: $k \neq 1$

Если $k \neq 1$, то коэффициент $(k - 1)$ не равен нулю. В этом случае мы можем выразить вектор $\vec{a}$ через вектор $\vec{b}$:

$\vec{a} = \frac{1 + k}{k - 1}\vec{b}$

Обозначим скаляр $m = \frac{1 + k}{k - 1}$. Поскольку $k$ - это скаляр, то и $m$ является скаляром. Таким образом, мы получаем:

$\vec{a} = m\vec{b}$

Это равенство означает, что вектор $\vec{a}$ является произведением скаляра $m$ на вектор $\vec{b}$. По определению, это свойство означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Например, если $k=-1$, то $1+k=0$, и уравнение принимает вид $\vec{b}(0) = \vec{a}(-1-1)$, что приводит к $\vec{0} = -2\vec{a}$, а значит $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (нулевой и ненулевой, или оба нулевые) также коллинеарны.

В обоих рассмотренных случаях (когда $k=1$ и когда $k \neq 1$) мы доказали, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

21.12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, выразите вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AC}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Векторы $\vec{AC}$, $\vec{AB_1}$, $\vec{AD_1}$.

Данная задача является геометрической задачей с векторами и не требует перевода данных в систему СИ.

Найти:

Выразить вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AC}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.

Решение:

Пусть векторы, идущие вдоль ребер куба из вершины $A$, будут $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю куба, и его можно представить как сумму векторов, идущих по трём некомпланарным ребрам из одной вершины:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеем $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

Таким образом, основное выражение для $\vec{AC_1}$ будет:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$ (1)

Теперь выразим данные векторы через $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$:

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ (2)

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABB_1A_1$:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Поскольку $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$, то:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$ (3)

Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Поскольку $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$, то:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$ (4)

Сложим левые и правые части уравнений (2), (3) и (4):

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AB} + \vec{AA_1}) + (\vec{AD} + \vec{AA_1})$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AD} + 2\vec{AA_1}$

Вынесем общий множитель 2:

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = 2(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1})$

Из уравнения (1) мы знаем, что $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$. Подставим это выражение в полученное равенство:

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = 2\vec{AC_1}$

Чтобы выразить $\vec{AC_1}$, разделим обе части на 2:

$\vec{AC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1})$

Ответ:

$\vec{AC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1})$

21.13. В тетраэдре ABCD (рис. 21.6) точки E, F являются точками пересечения медиан соответственно граней ADB и BDC. Докажите, что векторы $\overline{EF}$ и $\overline{AC}$ коллинеарны. Найдите отношение длин этих векторов.

Рис. 21.6

Дано:

В тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются точками пересечения медиан соответственно граней $ADB$ и $BDC$.

Найти:

Доказать, что векторы $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Найти отношение длин этих векторов.

Решение:

Введем произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Тогда радиус-векторы вершин тетраэдра будут $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$, $\vec{OD} = \vec{d}$.

Доказательство коллинеарности векторов $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$:

Точка $E$ является центроидом (точкой пересечения медиан) грани $ADB$. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Таким образом, радиус-вектор точки $E$ равен:

$\vec{OE} = \vec{e} = \frac{\vec{OA} + \vec{OD} + \vec{OB}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{d} + \vec{b}}{3}$

Точка $F$ является центроидом грани $BDC$.

Радиус-вектор точки $F$ равен:

$\vec{OF} = \vec{f} = \frac{\vec{OB} + \vec{OD} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{d} + \vec{c}}{3}$

Найдем вектор $\vec{EF}$ как разность радиус-векторов конечной и начальной точек:

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{d} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{d} + \vec{b}}{3}$

Выполним вычитание векторов:

$\vec{EF} = \frac{(\vec{b} + \vec{d} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{d} + \vec{b})}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{d} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{d} - \vec{b}}{3}$

Сократим одинаковые векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ в числителе:

$\vec{EF} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{3}$

Теперь найдем вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \vec{c} - \vec{a}$

Сравнивая выражения для $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$, видим, что:

$\vec{EF} = \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{AC}$

Поскольку вектор $\vec{EF}$ может быть выражен как произведение вектора $\vec{AC}$ на ненулевой скалярный множитель $\frac{1}{3}$, это означает, что векторы $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны.

Ответ:

Нахождение отношения длин этих векторов:

Используя свойство длины вектора $|\lambda \vec{v}| = |\lambda| |\vec{v}|$, где $\lambda$ - скаляр, а $\vec{v}$ - вектор, найдем отношение длин:

$|\vec{EF}| = \left|\frac{1}{3}\vec{AC}\right| = \left|\frac{1}{3}\right| |\vec{AC}| = \frac{1}{3} |\vec{AC}|$

Теперь найдем отношение длины вектора $\vec{EF}$ к длине вектора $\vec{AC}$:

$\frac{|\vec{EF}|}{|\vec{AC}|} = \frac{\frac{1}{3} |\vec{AC}|}{|\vec{AC}|} = \frac{1}{3}$

Ответ:

21.14. Точки E и F являются серединами соответственно ребер $AB$ и $C_1D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 21.7). Докажите, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны.

Рис. 21.7

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $E$ — середина ребра $AB$.

Точка $F$ — середина ребра $C_1D_1$.

Найти:

Доказать, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны.

Решение:

Для доказательства компланарности трех векторов достаточно показать, что один из них является линейной комбинацией двух других, то есть $\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}$ для некоторых скаляров $x$ и $y$.

Введем базисные векторы параллелепипеда с началом в точке $A$:

$\vec{AB} = \vec{u}$

$\vec{AD} = \vec{v}$

$\vec{AA_1} = \vec{w}$

Выразим радиус-векторы некоторых вершин параллелепипеда через эти базисные векторы:

$A = \vec{0}$

$B = \vec{u}$

$C = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{u} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}$ (так как $\vec{BC} = \vec{AD}$)

$D = \vec{v}$

$A_1 = \vec{w}$

$B_1 = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{u} + \vec{AA_1} = \vec{u} + \vec{w}$

$C_1 = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{AA_1} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$

$D_1 = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{v} + \vec{AA_1} = \vec{v} + \vec{w}$

Теперь выразим заданные векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ через базисные векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$.

Вектор $\vec{CE}$:

Точка $E$ является серединой ребра $AB$, поэтому $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{u}$.

Вектор $\vec{CE}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $E$ и точки $C$: $\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC}$.

Мы знаем $\vec{AC} = \vec{u} + \vec{v}$.

Следовательно, $\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{u} - (\vec{u} + \vec{v}) = \frac{1}{2}\vec{u} - \vec{u} - \vec{v} = -\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}$.

Вектор $\vec{AF}$:

Точка $F$ является серединой ребра $C_1D_1$.

Вектор $\vec{AF}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD_1} + \vec{D_1F}$.

Мы знаем $\vec{AD_1} = \vec{v} + \vec{w}$.

Ребро $D_1C_1$ параллельно и равно ребру $AB$, поэтому вектор $\vec{D_1C_1} = \vec{AB} = \vec{u}$.

Так как $F$ — середина $C_1D_1$, то $\vec{D_1F} = \frac{1}{2}\vec{D_1C_1} = \frac{1}{2}\vec{u}$.

Следовательно, $\vec{AF} = (\vec{v} + \vec{w}) + \frac{1}{2}\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$.

Вектор $\vec{BB_1}$:

Вектор $\vec{BB_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AA_1}$.

Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{w}$.

Итак, мы выразили все три вектора через базисные векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$:

$\vec{CE} = -\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{BB_1} = \vec{w}$

Теперь проверим, можно ли выразить один из векторов как линейную комбинацию двух других. Попробуем выразить $\vec{AF}$ через $\vec{CE}$ и $\vec{BB_1}$:

$\vec{AF} = x \cdot \vec{CE} + y \cdot \vec{BB_1}$

Подставим найденные выражения векторов:

$\frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = x \cdot (-\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}) + y \cdot \vec{w}$

Раскроем скобки и сгруппируем члены:

$\frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = -\frac{1}{2}x\vec{u} - x\vec{v} + y\vec{w}$

Поскольку векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ некомпланарны (они образуют базис пространства), коэффициенты при соответствующих базисных векторах в обеих частях уравнения должны быть равны:

При $\vec{u}$: $\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}x$

При $\vec{v}$: $1 = -x$

При $\vec{w}$: $1 = y$

Из первого уравнения находим $x = -1$.

Подставим $x = -1$ во второе уравнение: $1 = -(-1)$, что дает $1 = 1$. Это показывает согласованность системы уравнений.

Из третьего уравнения сразу получаем $y = 1$.

Таким образом, мы нашли скаляры $x = -1$ и $y = 1$, для которых выполняется равенство:

$\vec{AF} = -1 \cdot \vec{CE} + 1 \cdot \vec{BB_1}$

Или $\vec{AF} = -\vec{CE} + \vec{BB_1}$.

Поскольку один из векторов ($\vec{AF}$) выражается как линейная комбинация двух других векторов ($\vec{CE}$ и $\vec{BB_1}$), это означает, что все три вектора $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны по определению.

Ответ:

Доказано, что векторы $\vec{CE}$, $\vec{AF}$ и $\vec{BB_1}$ компланарны.