Номер 21.11, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.11. Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Докажите, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Дано:

Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны.

Найти:

Доказать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Решение:

По определению коллинеарности, если два ненулевых вектора коллинеарны, то один из них можно выразить через другой, умноженный на скаляр. Если один из векторов нулевой, то он коллинеарен любому вектору. Если оба вектора нулевые, они также коллинеарны.

Пусть векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует скаляр $k$ такой, что $\vec{c} = k\vec{d}$, то есть:

$(\vec{a} + \vec{b}) = k(\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки:

$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$

Перегруппируем члены, собирая векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} - \vec{a}$

Вынесем общие множители:

$\vec{b}(1 + k) = \vec{a}(k - 1)$

Рассмотрим два случая для значения скаляра $k$:

Случай 1: $k = 1$

Подставим $k = 1$ в уравнение $\vec{b}(1 + k) = \vec{a}(k - 1)$:

$\vec{b}(1 + 1) = \vec{a}(1 - 1)$

$2\vec{b} = \vec{a} \cdot 0$

$2\vec{b} = \vec{0}$

Из этого следует, что $\vec{b} = \vec{0}$. Если вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором, то он коллинеарен любому вектору $\vec{a}$ (включая нулевой вектор). Следовательно, в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Случай 2: $k \neq 1$

Если $k \neq 1$, то коэффициент $(k - 1)$ не равен нулю. В этом случае мы можем выразить вектор $\vec{a}$ через вектор $\vec{b}$:

$\vec{a} = \frac{1 + k}{k - 1}\vec{b}$

Обозначим скаляр $m = \frac{1 + k}{k - 1}$. Поскольку $k$ - это скаляр, то и $m$ является скаляром. Таким образом, мы получаем:

$\vec{a} = m\vec{b}$

Это равенство означает, что вектор $\vec{a}$ является произведением скаляра $m$ на вектор $\vec{b}$. По определению, это свойство означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Например, если $k=-1$, то $1+k=0$, и уравнение принимает вид $\vec{b}(0) = \vec{a}(-1-1)$, что приводит к $\vec{0} = -2\vec{a}$, а значит $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (нулевой и ненулевой, или оба нулевые) также коллинеарны.

В обоих рассмотренных случаях (когда $k=1$ и когда $k \neq 1$) мы доказали, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ:

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.