Номер 21.9, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.9. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 (рис. 21.4) выразите через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$ вектор:

а) $\vec{AD_1}$;

б) $\vec{AC_1}$.

Рис. 21.4

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Требуется выразить векторы через базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$.

Найти:

Выразить вектор:

а) $\vec{AD_1}$

б) $\vec{AC_1}$

Решение:

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ - центр этого шестиугольника.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны шестиугольника. То есть, $AO = BO = CO = DO = EO = FO = AB = BC = CD = DE = EF = FA = s$, где $s$ - длина стороны шестиугольника.

Четырехугольник $ABOF$ (где $O$ - центр шестиугольника) является ромбом, так как все его стороны ($AB$, $BO$, $OF$, $FA$) равны $s$. В ромбе диагональ, выходящая из вершины, равна сумме векторов, идущих по смежным сторонам из этой же вершины.

Следовательно, вектор $\vec{AO}$ (вектор из вершины $A$ в центр $O$) может быть выражен как сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$:

$\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

Также известно, что в правильном шестиугольнике вектор из вершины в противоположную вершину (например, $\vec{AD}$) равен удвоенному вектору из этой вершины в центр ($\vec{AO}$). То есть, $\vec{AD} = 2\vec{AO}$.

Используя эти свойства, решим задачу для каждого подпункта.

а) $\vec{AD_1}$

Вектор $\vec{AD_1}$ можно представить как сумму вектора $\vec{AD}$ (лежащего в основании) и вектора $\vec{DD_1}$ (являющегося боковым ребром призмы).

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$.

По свойству призмы, все боковые ребра параллельны и равны по длине, поэтому вектор бокового ребра $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

$\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.

Для вектора $\vec{AD}$ в основании мы используем полученное ранее выражение:

$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AB} + \vec{AF})$.

Подставляем эти выражения в формулу для $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = 2(\vec{AB} + \vec{AF}) + \vec{AA_1}$.

Раскрываем скобки:

$\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$.

б) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ можно представить как сумму вектора $\vec{AC}$ (лежащего в основании) и вектора $\vec{CC_1}$ (являющегося боковым ребром призмы).

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.

По свойству призмы, вектор бокового ребра $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

Теперь выразим вектор $\vec{AC}$ в основании. Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

В правильном шестиугольнике вектор $\vec{BC}$ (от вершины $B$ к $C$) равен вектору $\vec{AO}$ (от вершины $A$ к центру $O$). Это стандартное свойство векторов в правильном шестиугольнике.

Итак, $\vec{BC} = \vec{AO}$.

Мы уже установили, что $\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

Подставляем это выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

Теперь подставляем это выражение для $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + (\vec{AB} + \vec{AF})$.

$\vec{AC} = 2\vec{AB} + \vec{AF}$.

Наконец, подставляем полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = (2\vec{AB} + \vec{AF}) + \vec{AA_1}$.

Раскрываем скобки:

$\vec{AC_1} = 2\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{AC_1} = 2\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{AA_1}$.