Номер 21.8, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.8. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 21.2) выразите через векторы $\overline{AB}$, $\overline{AD}$ и $\overline{AA_1}$ вектор:

а) $\overline{A_1 C}$;

б) $\overline{BD_1}$.

Рис. 21.2

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Заданы векторы: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

Обозначим для удобства: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Найти:

а) Выразить вектор $\vec{A_1C}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

б) Выразить вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Решение:

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются квадратами, а противоположные рёбра параллельны и равны по длине. Это означает, что соответствующие векторы равны или противоположны.

Из свойств куба следуют следующие векторные равенства:

• Векторы, параллельные $\vec{AB}$: $\vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1} = \vec{a}$

• Векторы, параллельные $\vec{AD}$: $\vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1} = \vec{b}$

• Векторы, параллельные $\vec{AA_1}$: $\vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{c}$

• Векторы, противоположные: $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$, $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$, $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$ и т.д.

а) $\vec{A_1C}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{A_1C}$, мы можем разложить его по пути от точки $A_1$ к точке $C$. Один из возможных путей: $A_1 \to A \to B \to C$.

Тогда по правилу сложения векторов:

$\vec{A_1C} = \vec{A_1A} + \vec{AB} + \vec{BC}$

Теперь подставим выражения для каждого вектора через заданные базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• Вектор $\vec{A_1A}$ является противоположным вектору $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$.

• Вектор $\vec{AB}$ задан как $\vec{a}$.

• Вектор $\vec{BC}$ параллелен и равен вектору $\vec{AD}$ (поскольку $ABCD$ — грань куба, являющаяся квадратом), поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

Подставляем эти выражения в формулу для $\vec{A_1C}$:

$\vec{A_1C} = (-\vec{c}) + \vec{a} + \vec{b}$

Или, переставив слагаемые:

$\vec{A_1C} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Таким образом, $\vec{A_1C}$ выражается как $\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{A_1C} = \vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}$

б) $\vec{BD_1}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{BD_1}$, мы можем разложить его по пути от точки $B$ к точке $D_1$. Один из возможных путей: $B \to A \to D \to D_1$.

Тогда по правилу сложения векторов:

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Теперь подставим выражения для каждого вектора через заданные базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

• Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.

• Вектор $\vec{AD}$ задан как $\vec{b}$.

• Вектор $\vec{DD_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AA_1}$ (является ребром куба), поэтому $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Подставляем эти выражения в формулу для $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = (-\vec{a}) + \vec{b} + \vec{c}$

Или, переставив слагаемые:

$\vec{BD_1} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Таким образом, $\vec{BD_1}$ выражается как $-\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{BD_1} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$