Номер 21.13, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.13. В тетраэдре ABCD (рис. 21.6) точки E, F являются точками пересечения медиан соответственно граней ADB и BDC. Докажите, что векторы $\overline{EF}$ и $\overline{AC}$ коллинеарны. Найдите отношение длин этих векторов.

Рис. 21.6

Дано:

В тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются точками пересечения медиан соответственно граней $ADB$ и $BDC$.

Найти:

Доказать, что векторы $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Найти отношение длин этих векторов.

Решение:

Введем произвольную точку $O$ в качестве начала координат. Тогда радиус-векторы вершин тетраэдра будут $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$, $\vec{OD} = \vec{d}$.

Доказательство коллинеарности векторов $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$:

Точка $E$ является центроидом (точкой пересечения медиан) грани $ADB$. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Таким образом, радиус-вектор точки $E$ равен:

$\vec{OE} = \vec{e} = \frac{\vec{OA} + \vec{OD} + \vec{OB}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{d} + \vec{b}}{3}$

Точка $F$ является центроидом грани $BDC$.

Радиус-вектор точки $F$ равен:

$\vec{OF} = \vec{f} = \frac{\vec{OB} + \vec{OD} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{d} + \vec{c}}{3}$

Найдем вектор $\vec{EF}$ как разность радиус-векторов конечной и начальной точек:

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{d} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{d} + \vec{b}}{3}$

Выполним вычитание векторов:

$\vec{EF} = \frac{(\vec{b} + \vec{d} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{d} + \vec{b})}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{d} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{d} - \vec{b}}{3}$

Сократим одинаковые векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ в числителе:

$\vec{EF} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{3}$

Теперь найдем вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \vec{c} - \vec{a}$

Сравнивая выражения для $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$, видим, что:

$\vec{EF} = \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{AC}$

Поскольку вектор $\vec{EF}$ может быть выражен как произведение вектора $\vec{AC}$ на ненулевой скалярный множитель $\frac{1}{3}$, это означает, что векторы $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны.

Ответ:

Нахождение отношения длин этих векторов:

Используя свойство длины вектора $|\lambda \vec{v}| = |\lambda| |\vec{v}|$, где $\lambda$ - скаляр, а $\vec{v}$ - вектор, найдем отношение длин:

$|\vec{EF}| = \left|\frac{1}{3}\vec{AC}\right| = \left|\frac{1}{3}\right| |\vec{AC}| = \frac{1}{3} |\vec{AC}|$

Теперь найдем отношение длины вектора $\vec{EF}$ к длине вектора $\vec{AC}$:

$\frac{|\vec{EF}|}{|\vec{AC}|} = \frac{\frac{1}{3} |\vec{AC}|}{|\vec{AC}|} = \frac{1}{3}$

Ответ: