Номер 21.12, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, выразите вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AC}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Векторы $\vec{AC}$, $\vec{AB_1}$, $\vec{AD_1}$.

Данная задача является геометрической задачей с векторами и не требует перевода данных в систему СИ.

Найти:

Выразить вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AC}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.

Решение:

Пусть векторы, идущие вдоль ребер куба из вершины $A$, будут $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю куба, и его можно представить как сумму векторов, идущих по трём некомпланарным ребрам из одной вершины:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеем $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

Таким образом, основное выражение для $\vec{AC_1}$ будет:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$ (1)

Теперь выразим данные векторы через $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$:

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ (2)

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABB_1A_1$:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Поскольку $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$, то:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$ (3)

Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю грани $ADD_1A_1$:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Поскольку $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$, то:

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$ (4)

Сложим левые и правые части уравнений (2), (3) и (4):

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AB} + \vec{AA_1}) + (\vec{AD} + \vec{AA_1})$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AD} + 2\vec{AA_1}$

Вынесем общий множитель 2:

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = 2(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1})$

Из уравнения (1) мы знаем, что $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$. Подставим это выражение в полученное равенство:

$\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = 2\vec{AC_1}$

Чтобы выразить $\vec{AC_1}$, разделим обе части на 2:

$\vec{AC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1})$

Ответ:

$\vec{AC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AB_1} + \vec{AD_1})$