gdz.top
Номер 21.18, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве. Параграф 21. Компланарные векторы - номер 21.18, страница 118.
№21.17
№21.18 (с. 118)
Условие. №21.18 (с. 118)
21.18. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между векторами $\overline{AD_1}$ и $\overline{CD_1}$.
Решение. №21.18 (с. 118)
Решение 2 (rus). №21.18 (с. 118)
Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Найти: угол между векторами $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$.
Решение:
Для решения задачи введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Тогда оси координат будут направлены вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.
Координаты вершин, необходимых для определения векторов:
$A = (0,0,0)$
$C = (a,a,0)$
$D_1 = (0,a,a)$
Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$:
$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$
Найдем координаты вектора $\vec{CD_1}$:
$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$:
$\vec{AD_1} \cdot \vec{CD_1} = (0) \cdot (-a) + (a) \cdot (0) + (a) \cdot (a) = 0 + 0 + a^2 = a^2$
Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CD_1}$:
$|\vec{AD_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
$|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + 0 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Используем формулу для косинуса угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
Подставим найденные значения:
$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$
Определим угол $\theta$ по значению косинуса:
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$
Ответ: $60^\circ$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 21.18 расположенного на странице 118 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №21.18 (с. 118), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.