Номер 22.2, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.2. Для куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 22.4) найдите угол между векторами:

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1 D_1}$;

б) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$;

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Рис. 22.4

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Найти:

Угол между заданными парами векторов.

Решение:

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AC} = C - A = (a,a,0) - (0,0,0) = (a,a,0)$

$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0,a,a) - (a,0,a) = (-a,a,0)$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = (a)(-a) + (a)(a) + (0)(0) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

б) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = B - A = (a,0,0) - (0,0,0) = (a,0,0)$

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a,a,a) - (a,0,0) = (0,a,a)$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = (a)(0) + (0)(a) + (0)(a) = 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a,a,a) - (a,0,0) = (0,a,a)$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (a)(0) + (0)(a) + (a)(a) = 0 + 0 + a^2 = a^2$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Используем формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{AB_1}| |\vec{BC_1}|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

Найдем угол $\theta$:

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$