Номер 22.8, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.8. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 22.5). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{CC_1}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{B_1C_1}$.

Рис. 22.5

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

$AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Поскольку длина ребра задана как 1 без указания единиц, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

а) $\vec{AB} \cdot \vec{CC_1}$

б) $\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1}$

Решение

а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$

1.Длины векторов:

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{AB}| = 1$.

Длина вектора $\vec{CC_1}$ также равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{CC_1}| = 1$.

2.Угол между векторами:

Вектор $\vec{CC_1}$ представляет собой боковое ребро призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания $ABC$.

Следовательно, вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$.

Угол $\theta$ между этими векторами равен $90^\circ$.

Косинус угла: $\cos(90^\circ) = 0$.

3.Скалярное произведение:

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

$\vec{AB} \cdot \vec{CC_1} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CC_1}| \cdot \cos(\theta)$

$\vec{AB} \cdot \vec{CC_1} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

1.Длины векторов:

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{AB}| = 1$.

Длина вектора $\vec{B_1C_1}$ также равна длине ребра призмы, то есть $|\vec{B_1C_1}| = 1$.

2.Угол между векторами:

Вектор $\vec{B_1C_1}$ лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Так как основания призмы параллельны, вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{BC}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ (основание призмы). Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Вектор $\vec{AB}$ направлен от $A$ к $B$. Вектор $\vec{BC}$ направлен от $B$ к $C$. Чтобы найти угол между ними, приведем их к общему началу.

Угол между вектором $\vec{BA}$ (который противоположен $\vec{AB}$) и вектором $\vec{BC}$ равен углу $\angle ABC = 60^\circ$.

Поскольку вектор $\vec{AB}$ имеет противоположное направление по отношению к $\vec{BA}$, то угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Косинус угла: $\cos(120^\circ) = -1/2$.

3.Скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{B_1C_1}| \cdot \cos(\theta)$

$\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-1/2) = -1/2$.

Ответ: $-1/2$