Номер 22.11, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 22.8). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны $1$.

Найти:
Скалярное произведение следующих пар векторов:
a) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$
б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$
в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$
г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$
д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$
е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$
ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$

Решение

В правильной шестиугольной призме все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Длина любого ребра (как ребра основания, так и бокового ребра) равна $1$. Угол между смежными сторонами правильного шестиугольника равен $120^\circ$, а угол между векторами, соответствующими этим сторонам, если они выходят из одной вершины, равен $60^\circ$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Длина большой диагонали равна $2a$.

a) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$
Вектор $\vec{AA_1}$ является вектором бокового ребра, он перпендикулярен плоскости основания, а следовательно, и любому вектору, лежащему в этой плоскости, в том числе вектору $\vec{BC}$.
Вектор $\vec{BC_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.
Тогда скалярное произведение:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{BC} + \vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1}$
Поскольку $\vec{AA_1} \perp \vec{BC}$, их скалярное произведение равно $0$.
Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ параллельны и сонаправлены (оба являются боковыми ребрами призмы и направлены в одну сторону). Их длины равны $1$.
Следовательно, $\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1} = |\vec{AA_1}| |\vec{CC_1}| \cos(0^\circ) = (1)(1)(1) = 1$.
Таким образом, $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$
Аналогично пункту a), вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и вектору $\vec{DE}$, лежащему в ней.
Вектор $\vec{DE_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$.
Тогда скалярное произведение:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{DE} + \vec{EE_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{DE} + \vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1}$
Поскольку $\vec{AA_1} \perp \vec{DE}$, их скалярное произведение равно $0$.
Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{EE_1}$ параллельны и сонаправлены. Их длины равны $1$.
$\vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1} = |\vec{AA_1}| |\vec{EE_1}| \cos(0^\circ) = (1)(1)(1) = 1$.
Таким образом, $\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$
Вектор $\vec{BC_1}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.
Тогда скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = \vec{AB} \cdot (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AB} \cdot \vec{CC_1}$
Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания, а вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен этой плоскости. Значит, $\vec{AB} \perp \vec{CC_1}$, и их скалярное произведение равно $0$.
Рассмотрим $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$. Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{BC}| = 1$.
Внутренний угол правильного шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, когда они начинаются в одной точке (например, $\vec{AB}$ и вектор, параллельный $\vec{BC}$ и исходящий из $B$ в направлении $C$), равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(60^\circ) = (1)(1)(1/2) = 0.5$.
Таким образом, $\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = 0.5 + 0 = 0.5$.

Ответ: 0.5

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$
Вектор $\vec{C_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{CD}$ и имеет ту же длину $1$.
Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{C_1D_1} = \vec{AB} \cdot \vec{CD}$.
Длины $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{CD}| = 1$.
В правильном шестиугольнике угол между векторами, соответствующими сторонам $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ (если их начала совпадают), составляет $120^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| |\vec{CD}| \cos(120^\circ) = (1)(1)(-1/2) = -0.5$.

Ответ: -0.5

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$
Длина вектора $\vec{AC}$ (короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$) равна $a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Длина вектора $\vec{B_1C_1}$ (сторона верхнего основания) равна $1$.
Вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{BC}$ и сонаправлен с ним.
Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{B_1C_1} = \vec{AC} \cdot \vec{BC}$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $AB=BC=1$ и углом $\angle ABC = 120^\circ$.
Углы при основании $AC$ равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.
Угол между вектором $\vec{AC}$ (из $A$ в $C$) и вектором $\vec{BC}$ (из $B$ в $C$) при совмещении их начал (например, если начало $\vec{BC}$ перенести в $A$) равен $30^\circ$ (это угол $\angle BCA$).
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| |\vec{BC}| \cos(30^\circ) = (\sqrt{3})(1)(\sqrt{3}/2) = 3/2 = 1.5$.

Ответ: 1.5

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$
Длина вектора $\vec{AC}$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$.
Длина вектора $\vec{B_1D_1}$ (большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$) равна $2a = 2 \times 1 = 2$.
Вектор $\vec{B_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{BD}$ и сонаправлен с ним.
Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = \vec{AC} \cdot \vec{BD}$.
Разложим векторы: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{BC} + \vec{CD}) = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{BC} + \vec{BC} \cdot \vec{CD}$
Используем уже вычисленные скалярные произведения и свойства векторов:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0.5$ (из пункта в)
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -0.5$ (из пункта г)
$\vec{BC} \cdot \vec{BC} = |\vec{BC}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{BC} \cdot \vec{CD} = |\vec{BC}| |\vec{CD}| \cos(60^\circ) = (1)(1)(1/2) = 0.5$ (угол между $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ равен $60^\circ$)
Суммируем все слагаемые: $0.5 + (-0.5) + 1 + 0.5 = 1.5$.

Ответ: 1.5

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$
Длина вектора $\vec{AC}$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$.
Длина вектора $\vec{B_1E_1}$ (большая диагональ) равна $2$.
Вектор $\vec{B_1E_1}$ параллелен вектору $\vec{BE}$ и сонаправлен с ним.
Следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{B_1E_1} = \vec{AC} \cdot \vec{BE}$.
В правильном шестиугольнике большая диагональ $BE$ проходит через центр шестиугольника. Короткая диагональ $AC$ перпендикулярна большой диагонали $FD$. Поскольку $FD$ параллельна $BE$, то и $AC$ перпендикулярна $BE$.
Угол между перпендикулярными векторами равен $90^\circ$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = |\vec{AC}| |\vec{BE}| \cos(90^\circ) = (\sqrt{3})(2)(0) = 0$.

Ответ: 0