Номер 22.13, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.13. Из точки $C$, не принадлежащей плоскости $\alpha$, опущен перпендикуляр $CA$ на эту плоскость. Докажите, что для произвольной точки $B$ в плоскости $\alpha$ скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ не зависит от положения точки $B$.

D.

Решение

Пусть $C$ - точка, не принадлежащая плоскости $\alpha$. Пусть $A$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Это означает, что отрезок $CA$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Следовательно, вектор $\vec{CA}$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$.

Пусть $B$ - произвольная точка в плоскости $\alpha$. Рассмотрим вектор $\vec{CB}$. Его можно представить как сумму векторов $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$ (правило треугольника): $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = \vec{CA} \cdot (\vec{CA} + \vec{AB})$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = \vec{CA} \cdot \vec{CA} + \vec{CA} \cdot \vec{AB}$

Рассмотрим каждое слагаемое:
1. $\vec{CA} \cdot \vec{CA}$: Это скалярный квадрат вектора $\vec{CA}$, который равен квадрату его длины: $\vec{CA} \cdot \vec{CA} = |\vec{CA}|^2$. Поскольку точки $C$ и $A$ фиксированы (точка $A$ является проекцией $C$ на плоскость $\alpha$), длина $|\vec{CA}|$ является постоянной величиной, равной расстоянию от точки $C$ до плоскости $\alpha$. Значит, $|\vec{CA}|^2$ также является постоянной.

2. $\vec{CA} \cdot \vec{AB}$: Вектор $\vec{CA}$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости $\alpha$, так как обе точки $A$ и $B$ принадлежат этой плоскости. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $CA$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через $A$. В частности, она перпендикулярна прямой $AB$. Следовательно, векторы $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$ взаимно перпендикулярны. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{CA} \cdot \vec{AB} = 0$.

Подставляя полученные значения обратно в выражение для скалярного произведения: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}|^2 + 0$ $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}|^2$

Поскольку $|\vec{CA}|^2$ - это постоянная величина, которая не зависит от положения точки $B$, мы доказали, что скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ не зависит от положения точки $B$ в плоскости $\alpha$.

Ответ: Доказано.