Номер 22.9, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 22.6). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $ \overline{AB} $ и $ \overline{SC} $;

б) $ \overline{SB} $ и $ \overline{SD} $.

Рис. 22.6

Дано:

Пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной.

Длина всех ребер пирамиды (как боковых, так и ребер основания) равна $1$.

Найти:

Скалярные произведения векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Решение:

Для вычисления скалярных произведений векторов используем координатный метод. Поместим центр основания пирамиды $O$ в начало координат $(0,0,0)$.

Основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a=1$.

Длина диагонали основания $BD = AC$. В квадрате со стороной $a$, длина диагонали равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $BD = AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Расстояние от центра основания до любой вершины основания (например, $OC$) равно половине диагонали: $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO$ (где $S$ - вершина пирамиды) находится из прямоугольного треугольника $SOC$. Сторона $SC$ является боковым ребром и по условию ее длина равна $1$.

Применяем теорему Пифагора к треугольнику $SOC$:

$SO^2 + OC^2 = SC^2$

$SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$

$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$

$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$SO^2 = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь определим координаты вершин пирамиды. Пусть оси $x$ и $y$ параллельны сторонам квадрата $ABCD$.

$A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

Сначала вычислим координаты векторов:

$\vec{AB} = B - A = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), 0 - 0\right) = (1, 0, 0)$.

$\vec{SC} = C - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ определяется как $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = (1)\left(\frac{1}{2}\right) + (0)\left(\frac{1}{2}\right) + (0)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = \frac{1}{2} + 0 + 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1/2$

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Вычислим координаты векторов:

$\vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\vec{SD} = D - S = \left(-\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = -\frac{2}{4} + \frac{2}{4}$

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

Ответ: $0$